Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 48

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 115 >> Следующая


Ыа _ Ьд* _

5т 5т ~~ ^12 •

Поэтому

j?-=/ wV, (1.149а)

Sx

gl = ^V -Xl2 Г, (1.1496)

8t

?- = Ly «Ч X12 q*, (1.149b)

If = try Г + ^V + угУ/ . (1.149г)

Следовательно, два 4-вектора тетрады испытывают перенос Ферми — Уолкера вдоль мировой линии элементов системы отсчета— 4-вектор скорости- и единичный 4-вектор в направлении вектора вращения.

Условие (1.133 6) ортогональности метрического вектора к оси вращения можно выразить одним из следующих двух инвариантных относительно общей группы равенств:

^W.? = 0' (I-ISOa)

123 или

= (1.1506)

эквивалентных друг другу.

Единичный 4-вектор нормали к семейству гиперповерхностей одновременных событий — пространственных гиперповерхностей t = const,— направленный в будущее, определяется следующей формулой: _

ea=Vl+a2(u-a). (1.151)

Частица, мировой линией которой является огибающая нормалей к этому семейству, движется со скоростью

V — — е~? а

относительно системы отсчета. В синхронных и только синхронных системах отсчета мировые линии элементов системы отсчета совпадают с огибающими нормалей к семейству пространственных гиперповерхностей, а линии времени ортогональны пространству.

§ 17. единственность метрического векторного поля

В синхронной системе отсчета метрический вектор равен нулю, в несинхронной он отличен от нуля и удовлетворяет уравнениям (1.123) и (1.133 6). Определим степень произвола, который допускают эти уравнения. Введем обозначения

A1 = -J^L=- + -1 V-gm Sm

И

Перепишем уравнения (1.123) и (1.133 б) в этих обозначениях:

Atak,o~ Akai,o = Bi* . (ІЛ52а>

еш UlXhl = 0. (1.1526)

Предположим, не ограничивая общности, что A3=J= 0. Величина At имеет линейный неоднородный закон преобразования относительно группы (1.45), поэтому преобразованием х -*-х

0 =X0 (*')

всегда можно добиться выполнения этого неравенства, если в исходной координатной сетке заданной системы отсчета Л3=0. Уравнения же (1.152) ковариантны относительно группы (1.45), Сказанное об Az можно повторить и о величине еш AiXkn поэтому предположим также, что

124* Следующая система уравнений:

mnr

= Л3 Aj lM Є

еШ ZlIkl = О,

тпг

(^.0 + хХпг). (Ы53)

еш AiBbt = О

(1.154а) (1.1546!

эквивалентна системе (1.152). Действительно, уравнения (1.152а) представляют собой линейные неоднородные алгебраические уравнения относительно неизвестных CLiiо. Число уравнений равно числу неизвестных. Детерминант этой системы равен нулю, а ранг матрицы коэффициентов — двум. Поэтому система (1.152 а) совместна и может быть разрешена относительно0 и а2 0,если характеристический определитель, равный-^- AzEhl AlBkr обращается в нуль (Смирнов, 1956). Следовательно, уравнение (1.152а) можно переписать в разрешенном относительно ах 0 и а2 0 виде:

Продифференцировав (1.152 6) по X0j присоединив его к последним уравнениям и разрешив алгебраически относительно ai>0, получим систему (1.153) и (1.154). И наоборот, если уравнения (1.153) и (1.154) удовлетворяются, то выполняются также и уравнения (1.152).

Если метрический тензор мира известен в функции координат Xai то в правой части уравнений (1.153) присутствуют либо известные функции, либо искомые Cli и их производные только по координатам Xі. Поэтому уравнения (1.153) определяют значения искомых Cii в окрестности начальной гиперповерхности x°=const по их значениям на начальной гиперповерхности.

Лемма 14. Уравнения (I. 153) и (І. 154) находятся в инволюции— решение уравнений (1.153) удовлетворяет в окрестности начальной гиперповерхности также и уравнениям (1.154), если данные Коши удовлетворяют им.

Доказательство. Пусть имеется решение ai(x°, xh) уравнений (1.153). Подставим его в (1.153), которые теперь превратятся в тождества. Выразим величины B31 и #32 из тождеств, соответствующих і= 1 и / = 2, и подставим в тождество, соответствующее 1 = 3. Получим

а2,0 (^32 + А<а3, О ) »

Eikl A1Bbt= 0.

125* Любое решение (1.153) превращает величину eikl CLlXki в функцию координат, не зависящую от гиперповерхности семейства, поэтому она равна нулю на всем семействе, если равна нулю на начальной гиперповерхности. Тем самым лемма доказана для (1.154 а). Чтобы доказать ее для (1.154 б), введем 4-вектор

Pa = («,-«,) (X, + VO • <1Л55>

В собственной системе отсчета

P0= 4-е» Afiut

Pn=-IT e"k'

Подставляя в последнее равенство значения а10 из (I. 153), находим, что

Следовательно, если выполняется равенство (1.154 6), то выполняется также равенство

Pa=O, (1.1546)

и наоборот. Инвариантное относительно общей группы преобразований уравнение

Paa = O (1.156а) в собственной системе отсчета имеет вид

^0O= (Z)3-(v-i-a) р°. (1.1566)

Это уравнение имеет только нулевое решение при нулевом начальном значении, поэтому P0, а следовательно, и Pa и eikl AlBjti равны нулю в окрестности начальной гиперповерхности, если они равны нулю на ней.

Так как система уравнений (1.153) и (1.154) находится в инволюции, то ее общее решение совпадает с общим решением системы (1.153), удовлетворяющим (1.154) на начальной гиперповерхности. Общее решение системы (1.153) содержит три произвольные функции Cii от трех переменных Xi на начальной гиперповерхности. Одна из них исключается алгебраическим уравнением (1.154 а) на начальной гиперповерхности. Оставшиеся две функции трех переменных должны удовлетворять дифференциальному относительно CLiiJi уравнению (1.154 6) на начальной гиперповерхности, что уменьшает число независимых переменных одной из них до двух. Поэтому общее решение системы
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed