Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
- ^ (Л) = - ^(pI)I
и воспользоваться (1.36а), то получим справа
4- Iх (рз) (Л)] = 4 ^^ (яз) - -*0 (Л))=V^dx'dx**
а слева
' С.)--CV) = VrI^ СУ -¦»"№» = - + + ).
Приравнивая, находим уравнение (1.106) одновременных событий.. Определив элементарную пространственную длину dl между од~ новременными событиями как модуль пространственноподобного 4-вектора (Р2Р') и использовав (1.106), приходим к формуле (1.107).
Следствие 6. Локальная скорость света одинакова в противоположных направлениях и равна единице. В этом легко убедиться, если заметить, что
^2)=^(?. ^)-/(^2, PfY
Следствие 7. Если событие Ра(х9, Xі) принадлежит мировой линии часов, а близкое ему событие Pb(xP+dx9, xi + dxi)t вообще говоря, не принадлежит ей, то промежуток собственного времени, между этими событиями выражается формулой
^= (dx° + ZZdx1 ). (1.109).
Найдем событие Pc(*°-f-Ax0, Xі), принадлежащее мировой линии часов и одновременное с Рь. Из (1.106) следует
Ajc0 = Лс0 + — dxl .
goo
Промежуток собственного времени между Pa и Pc равен, очевидно, искомому промежутку времени между событием Pa и од~
106 мовременным событию Pc событием Pbt а, согласно (1.36 а),
^tf) assVr-SrооА*°» поэтому имеет место (1.109).
Уравнение (1.106) одновременных событий эквивалентно равенству нулю dx. Свойства линейной формы Пфаффа (1.109) и размерность интегрального многообразия уравнения Пфаффа
(1.106) зависят от значения вектора %. Необходимые и достаточные условия голономности (Степанов, 1952) формы (1.109) сводятся к равенству нулю поэтому в синхронных и только синхронных системах отсчета правая часть (1.109) голономна и представляется в виде произведения vdu двух скалярных относительно группы (1.45) функций v=v(x°, а1*) и u = u(x°, Xі), а интегральное многообразие уравнения одновременных событий является гиперповерхностью
U У) = C = COnstt (I-IlOa)
или
JC0 = U (х1; С). (1.1106)
Второе уравнение есть разрешенная относительно X0 форма первого.
Фундаментальная квадратичная форма гиперповерхности (1.110) совпадает с квадратом элемента пространственной длины (1.107), поэтому физическое пространство представляется пространственноподобной гиперповерхностью одновременных точек. Коэффициенты же (Oik второй ее квадратичной формы определяются равенствами
1 1 Щи
(!)
2 V=I^ дх°'
(Llll)
Метрический тензор (1.108) и коэффициенты второй квадратичной формы (1.111) задают внутреннюю и внешнюю геометрии физического пространства в каждый момент времени. Векторы
р и я в этом случае совпадают.
Хотя правая часть (1.109) в синхронных системах отсчета не является, вообще говоря, полным дифференциалом, существование ее интегрирующего множителя, или, что эквивалентно, существование гиперповерхности (1.110) одновременных событий дает возможность естественным образом ввести функцию t, значения которой равны промежуткам времени между любыми, не только близкими, событиями в данной системе отсчета (Арифов, Беспалова, 1970).
Следствие 8. В синхронной системе отсчета время t между любыми событиями Xt0 j и (*0, х'), измеренное по часам, покоящимся в точке Xq , определяется формулой
106 1= J У-gh X10) dl, (1-112а)
Л
Назовем точку нахождения измеряющих часов опорной, и пусть в точке х[ происходит событие, значение временной координаты которого обозначим через X01 . Координаты всех событий, одновременных этому, удовлетворяют в соответствии с (1.1106) уравнению
л:0 = и(х' ; и fx* , х[ которое превращается в тождество, если Xі = х[ и х° = X01 .
В частности, u ^x1qj и fx°9 X1lJj определяет в опорной точке Xi0 значение временной координаты события, одновременного событию (х°х , Xil J. Поэтому интеграл
< = ) V-goo (А V) dx\ U =Z(X10 ; и (X01 , ))
xO
представляет собой время между событиями , X10 ] и ^xJ , Xil j, измеренное по часам в опорной точке. Опуская индекс * из-за произвольности события , х\ j, получаем выражение (1.112а) для времени t между любым событием (х°, Xі) И событием ^Xq , X10 j, выбранным за начало отсчета времени в
опорной точке X0 .
Время t является, таким образом, функцией двух событий
t = t(x°0, X10; х\ Xі) (1.1126)
и удовлетворяет очевидным соотношениям
і ^o » xQ ' Х » ) = т » ^O ) »
t(x°0, Xі; х°, Xі).
Из (1.110а) и (1.112а) следует, что уравнение гиперповерхности одновременных событий можно переписать в привычном виде
t ~ const.
107 Удобно для применения выражение дифференциала времени
dt = е* V=^0 ^dx0 + grfx' (1.113)
где скалярная функция <р определяется криволинейным интегралом
(хП
?шш- Г Pt (i = Const, xa)dxk. (1.114)
К)
Введем операции производной по времени
д ==— е-* д
const
*~~dt =Const
и производной в физическом пространстве
д = — = — goi д 1 ~ дх1 |,=const ~ дх1 \хo=const goo дх°\ xk ^
const-
ИсПОЛЬЗуЯ их, можно убедиться, что ротор вектора р в синхронных системах отсчета равен нулю, поэтому функция <р существует и однозначна.
Обе части соотношения (1.113) инвариантны относительна преобразования координат (1.45), оставляющего неизменной систему отсчета, поэтому достаточно проверить их равенство в одной из координатных сеток синхронной системы отсчета. Для этой цели удобно воспользоваться координатной сеткой, в которой Ifoi=O. Существование такой сетки в синхронной системе отсчет та обеспечивается леммой 6. Если ?<н=0, то левая часть сразу же вычисляется дифференцированием (1.112а), а правая — подстановкой (1.50а) в (1.114). При этом следует учесть, что гиперповерхность f=const в данном случае совпадает с гиперповерхностью ^0=Const.
