Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
здесь Gtxv — левая, a T^ — правая части уравнений Эйнштейна. Так как Sliv удовлетворяет алгебраическим тождествам
S^v = Sv^, ^vSiiv = О,
0—14
129 то он имеет только шесть независимых компонентов. Уравнения Эйнштейна поэтому можно переписать в эквивалентной форме
Slt = O. (1.162а)
Sltv = 0. (1.1626)
В этой записи уравнения Эйнштейна естественным образом разбиты на две группы: первая (1.162 а) содержит четыре, а вторая (1.162 б) — шесть уравнений.
Лемма 15. Если Sliv равен нулю всюду, a Sa равен нулю на одной из гиперповерхностей семейства, то Sa также равен нулю всюду.
Доказательство. Рассмотрим случай временноподобных гиперповерхностей. Продифференцируем ковариантно обе части (Ы61 а) по координате ^v и учтем, что Stxv равен нулю по условию леммы, a G^ и T^ — согласно дифференциальным тождествам Бьянки (Эйзенхарт, 1948) и уравнениям движения (1.19), тогда
S*y = eaS' e^e'-e^Sl-S' є»-? e%+e»(e\Sx)^ . (1.163)
Заметим, что в каждой точке мира 4-вектор Sa-вае Sft принадлежит гиперповерхности семейства, содержащей эту точку. Обозначим единичный вектор вдоль нее через п, так что паеа = 0, a /ta/ta= ± 1. Поэтому
Sv = ев S*+ rCnJsr .
a — a
Отсюда
Подставляя последнее равенство в (1.163), получаем
Sfv eaSaev -SVv -Sv<v + ^nJST п]ч +f(nmsry У .
,V (1.164)
Величина ^ziaSaj n есть абсолютная производная от [паSaj на
гиперповерхности семейства, а S^v е—в направлении нормали к гиперповерхности, поэтому уравнение (1.164) при нулевом значении Sa на одной из гиперповерхностей имеет только нулевое решение и вне ее.
В случае пространственноподобных гиперповерхностей лемма доказывается аналогично.
Теорема 26. Система уравнений Эйнштейна находится в инволюции: всякое решение уравнений (1.162 6), принимающее на заданной неизотропной гиперповерхности заданные начальные значения (данные Коши), является также решением уравнений
130* (I.lG2a), если они удовлетворяются на гиперповерхности данными Коши.
В соответствии с этой теоремой задача Коши для уравнений Эйнштейна распадается на две (Lichnerowicz, 1955):
1) задача отыскания данных Коши, удовлетворяющих уравнениям (1.162 а) на заданной гиперповерхности;
2) задача интегрирования уравнений (1.162 6) с известными данными Коши.
Существование и единственность решения второй задачи в классе неаналитических функций (при достаточно слабых требованиях дифференцируемости) доказаны Фурье-Брюа (Foures-Bruhat, 1956). Она использовала предположение, что начальные значения заданы на гиперповерхности X0=const в нормальных гауссовых координатах ^g00 = — 1, gQi = 0). В классе аналитических функций эта задача решается теоремой Ковалевской. Доказательство существования и единственности решения в гармонических координатах проведено Хокингом и Эллисом (1977).
Уравнения, связывающие данные Коши, и их частные решения при различных предположениях обсуждались во многих работах (Lichnerowicz, 1955; Франкль, 1956; Araki, 1959; Brill, 1959; Baier-lein, Sharp, Wheeler, 1962; Пелых, 1979 и др., см. также Уи-лер, 1965; Петров, 1961, 1966; Синг, 1963; Хокинг, Эллис, 1977).
В последующем изложении будем считать гиперповерхности семейства пространственноподобными. Именно они представляют наибольший физический интерес. Введем три 4-вектора tj"^ (латинский индекс в скобках нумерует 4-векторы), касательные к
а ( да> ,дй>
координатным линиям на гиперповерхности, так что ^0] ^f/J^ •
Ь) , , 8^ Jf и обозначим как обычно через hik и o>/ft коэффициенты первой и второй квадратичных форм гиперповерхности, Pikln —- тензор ее кривизны, Plk и P — соответственно тензор Риччи и скалярную кривизну, ? — абсолютное значение нормали к гиперповерхности. Теперь можно конкретизировать вид уравнений Эйнштейна (1.162).
Теорема 27, Если гиперповерхности семейства пространственноподобные, то система уравнений
k k ту а ?
—W .« = — */ о в 77, . k\n n\k a? l(n)
яJt=-^v
эквивалентна уравнениям Эйнштейна (1.162 а), а система
d^e= Pik + 2«,п<-<*<>< + *(-{-) + - (ТЛ> І--T^rj
(1.166)
эквивалентна остальным уравнениям Эйнштейна (1.162 6).
(1.165)
131* Доказательство. Из определения rja(0 следует
"ik
Введем, как в доказательстве леммы 2, штрихованные координаты х'° = <*>{х\ X1), хА), причем три скалярные функции о)' (ха) суть независимые решения уравнений
U.V d*J_ _ Q
ё дх» дхv
В этих координатах выполняются равенства g'°Q = -E2e ^-0. А"-
ди>1
(1.168)
(1.169)
здесь для 4-векторов ^-введены обозначения Заметим,
что метрические тензоры гиперповерхности, определенные равенствами (1.167) и (1.169), совпадают, вообще говоря, только с точностью до преобразования ее внутренних координат. Воспользовавшись таким преобразованием о/ ш'*= а/1 (ш* ) (функции а/* — по-прежнему решения (1.168)), всегда можно привести их к точному равенству, что и предполагается выполненным. Поэтому векторы 7]"/)f и еа удовлетворяют очевидным соотношениям
(О g.1* ® X. (п)*
^.? = °. ^V0e =0.
(1.170)
В штрихованных координатах тензоры Римана — Кристоффеля и Эйнштейна выражаются через величины, принадлежащие гиперповерхности, равенствами (1.26) и (1.27) соответственно. Используя обратное преобразование от штрихованных координат к
