Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
126* (1.153) и (1.154) зависит от двух произвольных функций трех и двух независимых, переменных соответственно. На самом деле произвол, допускаемый уравнениями (1.153) и (1.154), еще меньше. Одну функцию трех переменных можно исключить преобразованием координатJC1Xі =х1 [хк) на начальной гиперповерхности, обращающим, например, ах в нуль. (Этим преобразованием нельзя, вообще говоря, обратить в нуль сразу два компонента вектора CLi. Для этого необходимо и достаточно, чтобы заданные at на начальной гиперповерхности удовлетворяли условию
e'W?u = °.
которое в общем случае не выполняется). Следовательно, наибольший произвол, допускаемый уравнениями (1.153) и (1.154), заключается в одной функции двух переменных на начальной гиперповерхности.
Теорема 25. Если в заданной системе отсчета известна метрика мира, то существует единственное метрическое векторное поле, удовлетворяющее уравнениям (1.123) и (1.133 6) и принимающее на начальной гиперповерхности заданные значения, связанные уравнением (1.133 6). Наибольший произвол в определении данных Коши заключается в одной функции от двух переменных на начальной гиперповерхности.
Общее решение можно записать в следующем виде:
"'=5^-+^(?)"^- (,Л57>
здесь / (ха) — функция, зависимость которой от всех четырех переменных ограничена только уравнениями (1.154). Подставив П.157) в (1.154 а) и переписав в разрешенной относительно д//дх° форме, находим, что уравнение (1.154 а) ограничивает функцию / зависимостью от трех переменных. Уравнение же (1.154 6) на начальной гиперповерхности вместе с допустимыми преобразованиями координат снижает число независимых переменных до двух.
Покажем, что flxa) = F( t{xa)). Подставим (1.157) в (1.125), учтем (1.50 а) и воспользуемся производной на гиперповерхности / = const. Получим
( dJ-' ' \ V- goo
Отсюда, согласно (1.124), следует
J_
tP
Г /__!__ d/nu')
127* Последнее равенство можно переписать в виде
df( х* ) _df(x* )
dt dt J X1 '
Следовательно,
f(x) = F(t)+ft(xl), % =
С другой стороны, если подставить (1.157) в (1.126) и учесть, что
df=d{Tdt + dJldxl ,
то получим
В пространстве / = Const левая часть этого равенства равна нулю независимо от dx\ поэтому C^fi=O и поскольку df,dxt также равна нулю, то /1— постоянная. Приравнивая эту постоянную нулю (переобозначая F), приходим к выводу, что функция / в (1.157) зависит только от времени t.
Таким образом, каждой несинхронной системе отсчета, характеризующейся ненулевым тензором вращения, принадлежит ненулевой 4-вектор а обусловленный анизотропностью скорости света. Он ортогонален двум ортам ti и f тетрады {и, i, q, j), поэтому условие ортогональности его и третьему орту С
cclwl = О, (1.158)
или коллинеарности орту q представляется разумным. При этом метрическое векторное поле определяется единственным образом.
Четырехвекторы I4 /, е вместе с единичным пространст-
венноподобным 4-вектором определенным равенством
= (,Л59>
образуют новую тетраду, принадлежащую системе отсчета. Обе тетрады являются естественными для несинхронной системы отсчета. Три пространственноподобных орта этой второй тетрады (е, i, kt /) принадлежат физическому пространству t = const, а временноподобный орт ортогонален ему. Из четырех ортов первой тетрады только два орта і и у\ общие для обеих тетрад, принадлежат пространству. Линии времени системы отсчета являются огибающими временноподобных ортов первой тетрады, а физическое пространство всюду ортогонально временноподобным ортам
128* второй тетрады. Вращение системы отсчета происходит в плоскости ортов і и q\ не принадлежащей (как и для всякого движения) пространству, но ось вращения лежит в пространстве в
в направлении орта /.
В синхронных системах отсчета, когда тензор вращения равен нулю, обе тетрады вырождаются — их временноподобные орты совпадают, соответственно физическое пространство всюду ортогонально линиям времени, а пространственноподобные орты становятся неопределенными. Неопределенность положения (направления) пространственного репера естественных тетрад в синхронной системе отсчета является следствием независимости скорости света от направления.
§ 18. ЗАДАЧА КОШИ И СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Десять функций, определяющих- метрику мира, подчиняются системе десяти уравнений Эйнштейна (1.17), в соответствии с которыми геометрия мира изменяется со временем. Но не все они играют одинаковую роль — часть уравнений Эйнштейна является связями, которым должны подчиняться начальные данные, остальные ограничивают эволюцию мира. Пусть имеется семейство
неизотропных гиперповерхностей ш (л:®) = const. Тогда единичный вектор
ди>
е, =— ^r
/ і дш Оы
V
ортогонален к гиперповерхностям, и еа еа = — 1 (или 1), если гиперповерхности пространственноподобные (или временноподобные) . В каждой точке мира существуют 4-тензоры первого и второго ранга
Sli = < (Gjav + *^) , (1.160)
^v= Ollv+ *rvSvS'1+ ^tleeaS\ если еаея= 1, (1.161а)
Sjav = Gtxv + xl^+e^S* + ^vStx + <?e\S* ,
если ев е*= - 1; (1.1616)
