Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
96 если
<8.
Доказательство. Обозначим через Ki кривизну мира в срединной точке интервала P^ Так как геодезические,
по условию, компланарны, т. е. Ьеа/Ьх = 0, то, согласно (1.84), имеем
is _ Ifi_т/-2 т/ — z2I-I__О
Разрешив это равенство относительно п, получим
X-X = ± Х'-2 + Х'-1 ГІ-
- 4 А)_
"41+2?]
1 -
1 -
1/2
(1-^-2(
1 + 2
4-і zI-2
(1.95)
где
=1^,-2 V2 (1+?)-
Знак перед корнем в правой части «того равенства удовлетворяет требованию равенства нулю его левой части, если /Сі-2=0.
Обозначим правую часть (1.95), деленную на Ті_2, через ?t-2 и перепишем равенство в виде рекуррентной формулы
ч
1-2
д
I-T
4-І 4-2 1 — 1
Решением этого соотношения является равенство
/-1 1-І / i-k-l4-1
J \*"~А t—1 / ' *—*c—i" — t
^ +22
^ 1 / ?=2 \ 1 / /=1
xH-I
B
I »
из которого следует
\П — \
I L2
T
(I.9SJ
(1.97)
(1.98)
7—14
97 I
Определим т(1, і) равенством т(1, і) = тогда
m=l
m=3 \ / / m-1 / _ V m—Л-1 Л-1
+ 2 2i'. f
m—3 ft—2 V1/ /=,1
Поэтому
я-1 , ч/
41..)-^2 f =
N \ ' п т — 1 / т \ А—1
='¦2 2^-т 2
m=3 ft=2 jX1/ /=1 ^
Если значение T2/^ зафиксировано, а все Arz ограничены, то
т -^0, /?,-*(), а--- —, когда т ->0. Поэтому правые части
T/+i Ti
уравнений (1.98) и (1.99) стремятся к нулю при T1 0. Обозначим их через Q(T1) и A(T1) соответственно. Найдем такие ненулевые B1 и B2; что | Q(B1) |<е и 1^(?)Ke- Существование S1 и S2, удовлетворяющих этим условиям, обеспечено поведением функций Q и R в окрестности нуля. Поскольку значение т(1, п) определено заданными событиями P0 и Pn9 то для каждого малого T1 < B2 искомое п является решением алгебраического уравнения, получающегося подстановкой нуля вместо правой части (1.99). Достаточно теперь приравнять В меньшему из B1 и B2, чтобы придти к доказательству леммы.
Следовательно, для любой наперед заданной точности в окрестности неизотропной геодезической Y существует область мира такая, что для любых событий P0 и Pn на y и заданного т2/тх в ней имеют место формулы
^ = ^,(?-)"'1. (1Л<х»
T(IfZi) = T1]? (^lV- (1.101)
1=0 V 1 /
С увеличением точности при неизменной кривизне мира допустимое значение Ti уменьшается, а п — растет. В мире Минковского формулы (1.100) и (LlOl) являются точными.
Теперь можно определить геодезический перенос эталона собственного времени. Пусть событие P0 принадлежит одной из мировых линий Yit a Pn- другой мировой линии Y2 (рис. 4). Интер-
98 валы (Po, Pi) и (P0f P2) могут быть измерены на у\ и выражены через величину эталона E0 собственного времени, локализованного в Po. Отношение двух интервалов, измеренных одним эталоном, не зависит от величины эталона, поэтому
(P0 Л)-
P2) - (Po. Pi) _ -Ь
<Яв. Л) Їтг [ ч >\ь"
Интервал (Pn_v Pn) может быть измерен на ^2 и выражен .через величину эталона Еп% локализованного в Pn на . Согласно (1.100), имеем
Е0 _ ?0 , л-
Рис. 4. Если h и 70—мировые линии, проходящие через события P0 и Pn
соответственно; 7—мировая линия, содержащая Pq и Pn ; 7' — мировая линия свободно движущегося зеркала, компланарная 7, то интервал (Pn_v Pn) связан с интервалами (Я , P1) и
(Рь Pa) формулой (1.100). Поэтому, измерив (Рл_х ,Pn) на 72, а (Я0, P1) и
(Я0, P2) на 7ь можно выразить величину эталона в событии Pn на 72 через
величину эталона в P0 на 7^
Поэтому отношение величин эталонов E0 и En выразится фор* мулой
? = (Р°'РР\ (1102)
Определение 7. Эталон ?л собственного времени, локализованный на мировой линии уг в событии Pn, равен эталону E0l локализованному на Yi в событии P0, если значения интервалов (Я0, P1) и (РЛ_р Pn ) , выраженные в эталонах E0 и Zrii соответственно, удовлетворяют равенству
{Рп~(1,103)
(pO' Л),
= ?
В этом случае будем говорить, что эталон En совпадает с Eo1 геодезически перенесенным из P0 в Pn.
Если необходимо сравнить эталоны, локализованные в событиях P0 и P на разных мировых линиях, причем P не принадле*
99 жит световому конусу Po, а поэтому не существует временнопо-добной геодезической, связывающей события P0 и Р, то достаточно выбрать какое-либо третье событие Р, принадлежащее световым конусам двух первых, так, чтобы события P0 и Р, P и P попарно можно было связать двумя разными, но единственными временноподобными геодезическими, осуществить вдоль них геодезический перенос эталонов из событий Po и P в P и сравнить их в этой общей точке.
С помощью геодезического переноса эталонов можно снабдить равными эталонами собственного времени все события каждой мировой линии моллюска Эйнштейна. Этим решается проблема оснащения физического мира системой согласованных эталонов собственного времени. Простейший способ согласования двух эталонов, локализованных в любых близких событиях Pо и її, заключается в том, чтобы приравнять значения интервала (P0, Р\), измеренного соответствующим эталоном в событиях P0 и Р|. Этот способ следует из определения 7, если положить п= 1.
Заметим, что в случае т2=ті относительное расстояние между геодезическими Y и у\ вдоль которых осуществляется геодезический перенос эталонов, постоянно в приближении, в котором можно пренебречь кривизной мира. Это следует из формулы (1.82). Такие геодезические можно назвать параллельными. Для параллельных линий геодезический перенос эталонов сводится к осуществлению идеи геодезических часов Марцке и Уилера (1965), которые предложили любопытный метод чисто геометрического построения параллельных временноподобных геодезических линий. Их обращение к идее геодезических часов объясняется стремлением доказать существование внутреннего по отношению к классической (не квантовой) теории относительности устройства, позволяющего в принципе измерять и сравнивать интервалы без привлечения таких внешних для этой теории устройств, как атомные часы.
