Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 52

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 115 >> Следующая


В действительности же эти арифметические подсчеты числа уравнений и числа искомых функций слишком просты, чтобы оправдывать себя при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Порочность приведенного рассуждения обнаруживается сразу же, если применить его к электродинамике. Уравнения электродинамики общековариантны, как и уравнения Эйнштейна, и решение их ищется так же с точностью до общей группы преобразований координат. Можно было бы ожидать уменьшения числа уравнений Максвелла—Лоренца (1.11), определяющих поле вне заданной гиперповерхности, до двух, так как четыре компонента из шести F^ подходящим преобразованием координат, как известно, можно обратить в нуль. Тем не менее, число этих уравнений равно шести, а не двум, и все они нужны для нахождения единственного решения, удовлетворяющего данным Коши, поскольку до их решения неизвестна как раз та система координат (вернее, система отсчета), в которых четыре компонента F^ равны нулю. К тому же эта система может оказаться вообще физически нереализуемой.

Не ограничиваясь этим замечанием, докажем теорему, из

которой следует недостаточность данных Коши hik и I или hik

135* и ел j для единственности решения уравнений (1.166) и

(1.175h Пусть в двух многообразиях \х\ х1\, метрики которых еще предстоит определить, дано семейство трехмерных многообразий (I)(Xa) = Const и даны hlk(x)Joj и <*>/д(х)к на многообразии a) = (O1 = const из семейства, причем первая квадратичная форма на W1 положительно определенная. Введем координату xf0 с помощью преобразования х° х'° = (о(лг°, хп)% оставляющего значения hlk и (o/ft на (O1 без изменения, и рассмотрим

в многообразиях х1} две различные метрики g^v и g (после чего многообразия превращаются в два мира) такие, что

tfoo=-!. go, =0. хя), gik("р Xа) = Zilkbi , (1.177а)

^oo = —f{x'°, Xа), Sot=Aix'0, х"), gtk(x'°, Xа),

g» (-,. = . (1.1776)

а функции / и ft — произвольные.

Теорема 28. Квадратичные формы двух миров с коэффициентами (1.177), вообще говоря, неприводимы друг к другу никакими преобразованиями координат.

Прежде докажем две леммы. Если wa = — 4-вектор, принадлежащий гиперповерхности, то справедливо следующее.

Лемма 17. Нормальная гауссова система координат, принадлежащая данному семейству пространственноподобных гиперповерхностей, т. е. такая, что ^00 = — 1. gol = 0, х° — const (о, существует в том и только том случае, если Wa равен нулю.

Достаточность. Пусть в произвольных координатах (х° f X* ) wa = 0. Воспользуемся преобразованием х° х'0-= (о(ла) t Xі JCw = (о1 (jca), где (0і —независимые решения уравнений (1.168).

Тогда я'00 = -*'2, g'0' = 0, < , 0, 0, о}, { - S', О, 0, 0|, а из уравнений w'a = 0 следует If = const. Поэтому преобразование X0-^jc'0 =(о (jca), Xі х'1= и>1 (ха) приводит к нормальным

гауссовым координатам, принадлежащим данному семейству. Необходимость легко проверяется.

Уравнение семейства (о = const определяет в многообразии л1) 4-вектор , ортогональный к трехмерному многообра-

дх*

зию семейства, но только введением .в многообразие метрики g определяется единичный ортогональный 4-вектор е^ .

136* Лемма 18. Если в двух многообразиях с заданным семейством U) = const введены метрики g^ И g , для которых много-образия семейства являются пространственноподобными гиперповерхностями, и wa = 0, a Wa Ф 0, то метрики неприводимы никакими преобразованиями координат.

Предположим, что такое преобразование существует. Тогда в результате приведения метрики g к g^v 4-векторы w и w* совпадут, что невозможно.

Доказательство теоремы 2 8. Согласно лемме 17, Wa в мире (1.177а) равен нулю. Функции / и /, в мире (1.1776) всегда можно выбрать так, чтобы wa =?0. Для этого достаточно, например, положить ft = 0, a =^ 0. В этом частном случае-

W

{о, hik д ^n ^ |. Тогда, согласно лемме 18, метрики (1.177) неприводимы.

Теорема 29. Для каждого заданного в многообразии \х°, Xі) семейства (I)(^a) = Const и заданных начальных функций

и (о или Zr... и (h;b е ) таких, что квадратичная форма

'"lu>, *я1шх \ а JliOl

ihlkdxldxk\ положительно определенная и уравнения (1.165}»

V ' !(о,

удовлетворяются на начальном многообразии w,, принадлежащем-семейству, уравнения Эйнштейна допускают в {х0, х1) множество решений, принимающих на W1 значения /ц и неприводимых

друг к другу преобразованиями координат.

Доказательство. Достаточно проанализировать уравнения Эйнштейна вне вещества. Возьмем в качестве gik и glk а (1.177) два решения уравнений (1.166) и (1.175/, удовлетворяющие одним и тем же данным Коши А.ь, и a>/bI и соответствую-

1о>1 IwI

щие функциям ^0a (х'°9 Xk) = { — 1, O1 0, 0) И S0aU' , Xk) =

= { — /U'°, Xk), Z1 JC*). /2 (jc'°, х*)\. Если данные

Коши удовлетворяют (1.165) на CD11TO метрики (1.177а) и (1.1776) являются двумя решениями уравнений Эйнштейна для одних и тех же данных Коши на ш,. Согласно теореме 28, эти два решения неприводимы друг к другу.

Предположим теперь, что данными Коши на (D1 являются: и ^hiktaeaJ . Если gQa выбрать, как в (1.177а), то в соот-
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed