Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Не существует кривых, дающих для интегралов Л относительный максимум, так как если С есть произвольная дуга, проведенная между А и В, то всегда можно построить бесконечно близкую кривую С', вдоль которой действие будет больше, чем вдоль С. Для этого достаточно взять в качестве С' синусоидальную кривую с бесконечно малыми амплитудами, проходящую С.
Точка на поверхности. Пусть на неподвижной поверхности S дана точка, находящаяся под действием силы, имеющей силовую функцию U(x,y,z). Для нее по-прежнему имеем интеграл кинетической энергии (1). Будем сравнивать между собой движения, которые совершаются на поверхности S при одном и том же значении постоянной h. Тогда имеем следующую теорему.
Кривые, проведенные на поверхности между двумя неподвижными точками AuBu обладающие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых ко всякой другой бесконечно близкой кривой, проведенной на поверхности между теми же точками, являются траекториями движущейся точки, соединяющими эти две неподвижные точки.
Следовательно, если мы ищем кривые, идущие на поверхности от А к В, вдоль которых действие имеет минимум, то их надо выбирать среди траекторий.
Чтобы доказать это, достаточно приложить к случаю у = Y'2(U h.) уравнения, которые мы дали (п. 149) для кривых, лежащих на поверхности,
и обращающих ^yds в минимум. Эти уравнения, так же как и выше, непосредственно преобразуются в уравнения движения точки на поверхности с заданной постоянной h кинетической энергии.
Например, если на точку не действует никакая сила (U = 0), то траекториями будут кривые, которые получатся, если искать кривые, обращающие (В)
в минимум интеграл j" V2h ds, т. е. если искать наиболее короткие линии (А)
на поверхности. Получатся, следовательно, геодезические линии (п. 270).
Справедливо более общее предложение, что задача отыскания траекторий на поверхности S при заданной силовой функции U эквивалентна задаче отыскания геодезических линий на другой поверхности S'. В самом деле, представим себе вспомогательную поверхность S', на которой линейный элемент определяется равенством
ds'i = 2(U+h)dsZ, где ds — линейный элемент поверхности S. Тогда нахождение траекторий на поверхности S приведется к нахождению кривых, обращающих j'ds' в минимум, т. е. к нахождению геодезических линий на поверхности S'.
Если мы на минуту вернемся к случаю свободной точки, находящейся под действием силы, имеющей силовую функцию, то мы увидим, что на основании принципа наименьшего действия задача определения траекторий точки является распространением на случай трех переменных задачи о геодезических линиях. ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 463
Мы не станем входить в подробности этой теории, относящейся больше к геометрии, чем к механике, отсылая читателя к главам VI и VII второго тома сочинения Дарбу «Lefons sur Ia Theorie des surfaces».
Мы вернемся, однако, к этому принципу в аналитической механике.
1. Формулы Тэта и Томсона. Если взять две бесконечно близкие траектории AB и A1Bb то вариация действия при переходе от первой ко второй будет
Ьо4 = — У2 ((Ja + h) ¦ AA1 cos A^AB — У2 (Ub + /г) - SS1 cos В^ВА,
Где UJ1 и Ub являются значениями функции U в точках AhS [эта формула совпадает с установленной, в п. 147, если только заменить ср выражением УЩT+hj\.
2. Теорема, Тэта и Томсона (п. 147, 2°). Если из различных точек M0 поверхности S по нормалям к ней начинают двигаться одинаковые материальные точки, для каждой из которых силовая функция есть U, а настоящая кинетической энергии есть h, и если на каждой траектории взять дугу M0M1 такую, что действие на участке от Af0 до M1 этой траектории имеет определенное значение, одинаковое для всех траекторий, то геометрическим местом точек M1 будет поверхность S1, нормальная к траекториям. Важный частный случай этой теоремы получится, если предположить, что поверхность S вырождается в сферу с нулевым радиусом. Тогда все траектории будут выходить из одной определенной точки M0 со скоростью, определенной по величине, но переменного направления.
Если потребовать, чтобы движение было плоским или происходило на поверхности, то формулировка, очевидно, останется той же, если заменить поверхности S и S1 кривыми.
Если U = 0, то эти теоремы переходят в классические теоремы о параллельных поверхностях или параллельных кривых на поверхности.
3. Свойство, аналогичное свойству разверток. Если рассматривать траектории AB, нормальные о точке А к неподвижной кривой и касающиеся в точке S другой кривой D, и если обозначить через А'В' и А"В'( два положения траектории, то можно высказать следующую теорему: действие вдоль дуги А"В" равно действию вдоль дуги А'В', сложенному с действием вдоль дуги В' В" огибаемой кривой D.
Та же теорема имеет место и при движении точки на поверхности для траекторий, нормальных к неподвижной кривой.
Если U = 0, то эти теоремы переходят в классические теоремы о развертках.
4. Приложить принцип наименьшего действия к движению тяжелой точки в пустоте в вертикальной плоскости (п. 217, рис. 139). Действие будет тогда иметь вид
