Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
через р и м полярные координаты точки M на плоскости, а через ср и 6 — полярные координаты точки M1 на сфере (ср — дополнение широты и 6 — долгота), получим следующие формулы преобразования:
P = tg ср, м = 0. (а)
Уравнения Лагранжа плоского движения будут
<Г-P „ (do, у d / , rf» \
где R и Q — функции от р и со. Точно так же, если рассматривается на сфере точка массы 1, перемещающаяся в течение времени tb то уравнения движения будут
rf2tP • M1 A2 Л d / • 9 м \ О,
—-Sincp COScp =Ф, ^>п2<р_) = в, (С)
где Ф и 0 — функции от ср и 0. Доказать, что если над уравнениями плоского движения (Ь) сделать преобразование центральных проекций, определяемое формулами (а), и если между < и ^ установить соотношение
dtx = cos2 ср dt, то уравнения (Ь) примут вид уравнений (с), где
RnQ
Ф :
COS2 ср COS2 ср
Следовательно, любому движению на плоскости соответствует движение на сфере и обратно. Траекторией одной из точек будет преобразование при помощи центральных проекций траектории второй точки (А п п е л ь, American Journal, т. Х111). Приложить это преобразование к примеру 14.
19. Доказать более общее предложение, что таким же путем можно преобразовать движение точки на поверхности постоянной кривизны в движение на плоскости. (Дотевилль, Annales de l'Ecole Normale superieure, 1890.)
20. Точка, на которую не действует никакая заданная сила, движется на плоскости, вращающейся с постоянной угловой скоростью а> вокруг неподвижной оси, с которой она неизменно связана. Найти движение и вычислить реакцию (де Сен-Жермен).
21. Найти длину кривой, описываемую сферическим маятником в горизонтальной проекции и в стереографической проекции в случае Гринхилла (п. 280) (Гринхилл).
22. Установить уравнения движения точки на поверхности с трением. (Ann ель, Comptes rendus, 15 фев„ 1892; см. также M а й е р, Sachsische Gesellschaft, 5 июня, 1893.)
23. Найти движение с трением тяжелой точки на круговом цилиндре с вертикальной осью. (Де Сен-Жермен, Bulletin des Sciences mathema-tiques, август, 1892.)
24. Доказать, что если точка, движущаяся по поверхности без трения, находится под действием силы постоянного направления, то проекция траектории на плоскость, перпендикулярную силе, имеет точку перегиба: 1) когда реакция обращается в нуль; 2) когда соприкасающаяся плоскость траектории нормальна к поверхности (де Спарр, т. СХ1Х). Это будут два случая, когда соприкасающаяся плоскость траектории вертикальна. ГЛАВА XIV
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
282. Уравнения Лагранжа. В предыдущих главах мы вывели для точки, движущейся по неподвижной или движущейся поверхности или по кривой, уравнения движения, указанные Лагранжем. Тот же метод позволяет написать уравнения движения свободной точки, причем в любой системе координат. Этот метод тем более важен, что он применим к движению произвольной голономной системы.
Допустим, что декартовы координаты х, у, z движущейся точки относительно трех прямоугольных осей координат выражены через новые координаты qlt q2, q3 формулами
* = cP (ЯV Яг< Яз)< У = ф (<7i. Яг< Яз). Z = w (^1, q2, q3).
Требуется написать уравнения движения в новой системе координат, т. е. написать дифференциальные уравнения, определяющие qlt q2, q3 в функции времени. Для этого можно было бы взять те же уравнения движения, которые определяют X, у, Z в функции t и преобразовать их к новым переменным, определяемым вышенаписанными формулами. Но такое вычисление было бы слишком длинным, а метод Лагранжа имеет целью именно избежать длинные вычисления. Этот метод применим также и в том случае, когда декартовы координаты являются заданными функциями не только трех новых координат qu q2, q3, но и времени. С точки зрения геометрической это означает, что указанный метод применим также и в случае, когда новая система координат подвижна, причем движение ее известно.
Поэтому, чтобы исследовать наиболее общий случай, мы предположим, что X, у, г являются заданными функциями параметров qlt q2, q3 и времени t:
х = tP (<7і. Яг> Яз. t)< У = ^iql. Яг' Яз. 0. Z = <o(qlt q2. q3, t).
Чтобы найти уравнения движения в новой системе координат, т. е. дифференциальные уравнения, определяющие ^1, q2, q3 в функции времени, напишем уравнения движения в декартовых координатах 448
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
.. дх ду дг
Умножим, соответственно, эти уравнения на ~dq' ~dq~~ 11
почленно сложим их. Получим
/ &х дх d*y ду . tPz дг \ п ...
где положено
Q1 = X^ +
dq! dq, dq,
Так как X, Y, Z являются заданными функциями координат х, у, 2 и их производных по t, то легко вычислить Q1 в функции qv q2, q3 и их производных по t. Далее для вычисления левой части заметим, что предыдущее уравнение может быть написано в виде d Г I dx дх . dy ду . dz дг \1_
Ж Im \Ж Ж ~dq[ ^t- ~Ж ~dq[) J ~~
_ Г dx d t дх \ . dy d / ду \ . dz d / дг \1_ , ,
-mY dt Л WtfJ dt dt V dq, ) dt dt V<tyJJ—^1'
Для упрощения записи Лагранж обозначает:
Il S^4 dy dt II 4 dz dt
