Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
из которого мы вывели уравнение Лагранжа (п. 259).
289. Замечание о силе инерции. Допустим, что материальная точка, находящаяся под действием сил Fb Fi, ..., Fn и поставленная в некоторые начальные условия, начинает двигаться. Отбросим теперь силы FvFi, ...,Fn> возьмем материальную точку в руку и сообщим ей рукой то же самое движение. Тогда действие руки на точку будет в каждый момент t равно равнодействующей R сил Fb Fi,..., Fn, действовавших при первом эксперименте, или равно mj, где j—ускорение. Следовательно, по закону равенства действия и противодействия, давление точки на руку в каждый момент времени равно и противоположно силе R или mj; таким образом, это давление равно силе инерции. Необходимо, однако, заметить, что это давление будет силой, действующей на руку, но не на точку.
290, Принцип наименьшего действия. Этот принцип может быть приложен к движению точки под действием силы, имеющей силовую функцию, причем точка либо может быть свободной, либо должна скользить по неподвижной поверхности. Принцип позволяет объединить уравнения движения в одно, написав, что вариация некоторого интеграла равна нулю. Во втором томе мы укажем другие принципы, как, например, принцип Гамильтона, принцип Гаусса, которые применимы в более общих случаях. Принцип наименьшего действия был указан Мопертюи. Пример его можно найти в работе Эйлера De motu projectorum. Лаплас, Лагранж, Пуассон излагали этот принцип в форме, способной вызвать возражения. Якоби первый изложил его в строгом виде. В Sitzungsberichte Берлинской Академии (1887) можно найти интересную статью Гельмгольца по истории принципа наименьшего действия.
Свободная точка. Если свободная точка находится под действием силы, имеющей силовую функцию U (х, у, г), то интеграл кинетической энергии имеет вид
imfi = 2[U(x, у, г)+ /г], mv\ = 2 [U{x0, у0, г0) + А]. (1)
В принципе наименьшего действия сравниваются лишь такие движения, для которых постоянная h имеет одинаковые значения. Таким образом, везде в дальнейшем h является определенной постоянной. Следовательно, можн^ по произволу задать начальное положение х0, у0, Z0 движущейся точки, и тогда ее начальная скорость определится по величине (но не по направлению) из второго соотношения (1). Положения движущейся точки и кривые, которые мы рассматриваем, расположены, разумеется, в области пространства, где функция
U(x, у, г) + h
положительна. ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 461
Пусть А и В — две неподвижные точки. Тэт и Tomcoh называют действием вдоль кривой С, соединяющей эти две точки, интеграл
(В)
Л =
(А)
f Y2(U + h)ds, (2)
где вместо U (X, у, г) мы пишем U. Предполагается, что этот интеграл берется вдоль кривой С, элемент дуги которой обозначен через ds. Принцип наименьшего действия может быть сформулирован следующим образом.
Кривые, соединяющие две неподвижные точки AuBu обладающие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых к любой другой, бесконечно близкой и проходящей через те же точки, являются траекториями, которые фактически опишет материальная точка, начавшая движение из одной из этих неподвижных точек в таком направлении, что она приходит во вторую.
Можно также сказать, что если среди всех кривых, идущих от точки А к точке В, отыскивать кривые, для которых действие имеет минимум, то эти кривые среди траекторий, соединяющих точки А и В. Это следует из того, что для нахождения таких кривых нужно прежде всего приравнять нулю вариацию действия.
Чтобы доказать это предложение, заметим, что интеграл Л будет вида
(В)
f ? (*> У, г) ds,
(А)
где _
? (X, у, г) = Y-MU+ft). (3)
Следовательно, чтобы получить дифференциальные уравнения кривых, которые могут обратить интеграл Л в минимум, нужно применить уравнения (3) п. 146, заменив в них ? его значением (3). Таким путем мы получим для искомых кривых дифференциальное уравнение
УШТ+Ц-Л- — ds
ds J дх Y2(U+h)
и два аналогичных. Примем за независимую переменную величину t, определенную соотношением
d.t= Vmds (5)
Y2(U + h)
Тогда дифференциальные уравнения (4) кривых, которые могут обратить интеграл Л в минимум, станут следующими:
(P1х__(Ш LL-^L d"'z - dU т dP дх ' т dP - ду ' т dP ~ dz '
Это — уравнения движения свободной точки, причем уравнение (5) является уравнением кинетической энергии с частным значением h. Таким образом, теорема доказана.
Итак, кривые, дающие для действия Л относительный минимум, т. е. значение, меньшее, чем вдоль всякой кривой, бесконечно близкой, нужно искать среди траекторий, идущих от і к В. Вопрос о том, дает ли найденная траектория, соединяющая две точки А н В, относительный минимум для Л, в действительности не является существенным с точки зрения самого принципа. Он аналогичен вопросу, дает ли в действительности геодезическая линия, 462
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
соединяющая две фиксированные точки на заданной поверхности, относительный минимум для расстояния двух точек на поверхности (см. Дарбу, Theorie des surfaces, ч. 3, глава V). Так как коэффициент при ds в интеграле Л положителен, то действие всегда положительно и всегда существуют кривые, идущие от Л к б, вдоль которых имеет место минимум интеграла Л. Эти кривые образуются траекториями. Существует также между А и В кривая, которая дает абсолютный минимум. Эта последняя кривая, обязательно составленная из дуг, дающих каждая в отдельности относительный минимум, состоит, следовательно, из дуг траекторий.
