Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
її ^a4 dq-, dt f = q 2, dq?, dt
Тогда, взяв производные по t от обеих частей уравнения
x = <?(q„ q2, <7з, t),
получим
, дх , . дх , . дх , . дх
х = Dq^ W q'1 ~5<h q'A ~дГ'
Отсюда, так же как и в п. 263, выводим формулы дх _ дх' d ( дх \_ дх'
^tfT-"dq[' їй \ d<h)~~~d<h '
Точно так же получаются тождества
ду__ду^_ d I ду ду' dqi ~~ dq[ ' ai Xdq1 dft '
dz _ dz' d I dz j _ dz'
d_ dt
dq\. dq[' dt V dq, ) dq,
Поэтому, уравнение (2) можно написать так , дх' , ду' , . dz' \ ]
і У і 2 Tt" 1 —
dq, dqx dq1 J
¦т\ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
449
Положим теперь
Следовательно, T обозначает кинетическую энергию точки. Если заменить х', у', z' их значениями (3), то T станет функцией переменных qv q2, q3, t, q'v q'0, q's. При таком обозначении непосредственно видно, что уравнение (2') можно переписать в виде
dt [ dq[ ) dq,
Путем таких же вычислений получим:
jL(JL\^ JL-0
dt\dq'2) дЧъ—Чг>
J_ I JL\^JL — n
dt\dq'z) dqe—V»
Выражение T содержит qu q2, q3 и их первые производные; отсюда следует, что полученные нами уравнения Лагранжа будут второго порядка. Следовательно, их общие интегралы содержат шесть произвольных постоянных, которые определяются из начальных условий. Если известно выражение ds2 в системе координат qlt q2, q3, то
можно сразу найти Т, так как T = ^-[dJj •
Вычисление правых частей. В равенствах, выражающих Q1, Q2, Q3, можно заменить X, У, Z их значениями, но часто можно вычисление упростить. Допустим сначала, что имеется силовая функция U. В этом случае
у—JL V-JL 7 — JL
Л — дх ' ду ' Z — дг '
и поэтому
O-JL JjL ди дУ ди дг
дх dqt ' ду dqx ' dz Oqx
Если теперь предположить, что в выражении силовой функции U координаты X, у, z заменены их значениями в функции qx, q2, q3, то предыдущее уравнение запишется следующим образом:
Q -JL - dqx ¦
Точно так же будет
Эти формулы пригодны и тогда, когда X, У, Z являются частными производными по X, у, z функции U (х, у, г, t), содержащей явно время, хотя в этом случае нельзя больше говорить, что сила имеет силовую функцию.
29 Зак. 851. П. Аппель, т. I450
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
В наиболее общем случае можно также упростить вычисление величин Q1, Q2, Q3. Дадим в уравнениях преобразования координат
X = ^piq1, q2, q3, t), у = ф (ql7 q2, q3, t), Z = <о (qlt q2, q3, t)
времени t определенное значение и допустим, что qx, q2, q3 получают произвольные возможные приращения Oq1, bq2, bq3. Тогда приращения координат X, у, z будут:
Sx = дх ~dq[ §<7i + дх Ж ЪЯг + дх кз
S3/ = ду d<h ду_ dq2 ЬЯг + ду_ 8<7з
82 = dz dh -S<7i + dz dq2 ЬЯг + dz д<7з %Яз
Элементарная работа силы на соответствующем возможном перемещении равна
Xbx+ Voy + Z 02, или в силу предыдущих равенств
Q1 Zq1 -f- Q2 8<7з+ Q3 3<7з-
И если предположить, что возможное перемещение совершается по кривой ^2 = const., <73 = Const., то элементарная работа будет равна Q1^q1, что и позволяет определить Q1. Точно так же получаются Q2 и Q3.
Мы видим, таким образом, что имеется полная аналогия с уравнениями, найденными для движения по кривой и по поверхности.
Единственное различие заключается в числе параметров qv q2.....
которое для точки на кривой равно 1, для точки на поверхности равно 2 и для свободной точки равно 3.
283. Интеграл кинетической энергии. В случае, когда существует силовая функция U іх, у, z), по теореме кинетической энергии получим первый интеграл
Т = и + к,
где T обозначает кинетическую энергию. Этот интеграл, являясь следствием уравнений движения, является также следствием уравнений Лагранжа и может заменить одно из них.
Проверим непосредственно, что интеграл кинетической энергии действительно является следствием уравнений Лагранжа. Остановимся лишь на более простом случае, когда х, у, z, выраженные через qlt q2, q3, не содержат явно t. В этом случае для х', у', Zr получатся выражения вида
, дх , , дх , , дх ,ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ 451
и T будет однородной функцией второй степени относительно qv q'v q' По теореме об однородных функциях имеем
дТ . , дТ , дТ ,
—г + Q2 -7-т + Q3 -T-T = 27\ (1)
dq, dq, dq3
После этого возьмем уравнения Лагранжа, в которых Q1, Q2, Q3 dU dU dU
заменены через > ~dq~' и' Умножив их предварительно на
Qv q'>' Q-S' сложим. Получим
, d I дТ \ , , d ( дТ \ . , d I дТ
q^ [W1]+q^wi Г qswW,
, дт , дТ , дТ ' dU , , dU , , dU -^-1^-4^ = 4^ + 4,-+4^. (2)
П du ,,
Правая часть этого уравнения равна, очевидно, —щ-, так как u
зависит от t только через qlt q2, q3. Что касается левой части, то ее можно написать так:
LL К
d ( , дТ . , дТ , ,
/ „ дТ . „дТ „ дТ . , дТ . ,
— [Q1 ~гт + Q2 -т-т + Q3 —г + Q1-X7- + Q2 \ Oq1 dq2 dq3 OQi
где q , q2, q3—вторые производные от ql7 q2, q3 по времени.
На основании уравнения (1), полученного из теоремы об однородных функциях, первая скобка равна 2Т. Что касается второй
скобки, то она является развернутым выражением производной -, так как T зависит от t через параметры qv q2, qa, q'v q't), q'r и уравнение (2) приводится к следующему виду: