Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
8. Найти геодезические линии тора. (Pe за ль, Comptes rendus, т. XC1 стр. 937.)
9. Найти геодезические линии поверхности, образованной вращением цепной линии вокруг основания (0 определяется через г эллиптическим интегралом первого рода, который сразу приводится к нормальной форме).
дится на оси X и имеет скорость, равную
образующую с пло- 444 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА точки
9 bis. Найти геодезические линии однополостного гиперболоида, образа Z2
зованного вращением гиперболы --— =1. Обозначая через е эксцентриситет гиперболы, получим для проекций геодезических линий такое уравнение:
г V (Г0- —а2) (г2 —к2)
Следовательно, 0 выражается интегралом, который приводится к эллиптическим. Кривая имеет форму, аналогичную указанной в п. 275. При k = а
она асимптотически приближается к горловому кругу г = а\ при k = — кривая обращается в образующую.
10. Кривизна геодезических линий поверхностей вращения. Пусть R и R' — главные радиусы кривизны в точке поверхности вращения, г— радиус соответствующей параллели, I — наклон рассматриваемой геодезической линии к меридиану, р — ее радиус кривизны. Вывести формулу
где k, как и в тексте, представляет собою постоянное значение произведения г sin / вдоль рассматриваемой геодезической линии. (Р е з а л ь, Nouvel-Ies Annales, фев., 1887.)
И. По поверхности двигается тяжелая точка. Доказать, что можно взять начальную скорость настолько большой, что траектория на некотором расстоянии от начального положения точки будет сколь угодно мало отличаться от геодезической линии.
12. Найти геодезические линии поверхности вращения
16а2 (х2 + у-2) = Z2 (2а2 — г2).
Можно положить
а і и и\
г = — cos и, Z = alsin j— cos-j
Эти геодезические линии имеют вид пространственной восьмерки; все они замкнуты и имеют одинаковую длину. (Т а н н е р и, Bulletin des Sciences mathematiques, 1892, стр. 190.)
13. Даны две тяжелые точки, притягивающиеся друг к другу пропорционально расстоянию. Первая из них двигается по вертикали, а другая на плоскости, образующей с горизонтом угол а. Найти движение этой системы двух точек.
Рассмотреть частный случай, когда: а) т' = т\ б) начальное положение совпадает с положением равновесия; в) проекции начальной скорости второй точки на горизонталь и на линию наибольшего наклона плоскости равны,
ч . 3
каждая, начальной скорости первой точки; г) sm а = — .
Рассмотреть также случай, когда плоскость горизонтальна, т. е. а = 0.
14. Движение точки на сфере под действием силы, постоянно лежащей в плоскости меридиана, проходящего через движущуюся точку. Предполагается, что радиус сферы равен единице и что положение точки определяется долготой 0 и углом <р, дополнительным к широте; на точку действует сила, постоянно находящаяся в плоскости меридиана; обозначим через F проекцию силы на касательную плоскость к сфере, причем F считается положительной или отрицательной в зависимости от того, будет ли эта составляющая направлена в сторону возрастающих или убывающих значений <р. ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
445.
Доказать справедливость следующих формул, аналогичных соответствующим формулам в теории центральных сил и, в частности, формуле Бине:
Sinatf м = Cdt, =
SinStpVc^ ? ^ rfflS )•
F
(П. С е р р е, Theorie geometrique et mecanique, etc., стр. 195.)
Пример. Если F имеет значение J^ , то траектория будет сферическим коническим сечением с фокусом в полюсе (аналогия с движением планет).
15. Установить формулы такого же, как в примере 14, характера для движения точки на поверхности вращения под действием силы, постоянно находящейся в плоскости меридиана движущейся точки.
16. Преобразование движений. В неподвижной плоскости дана материальная точка массы 1, находящаяся под действием силы F, проекции которой X и Y суть функции только координат хну движущейся точки.
Уравнения движения будут
dfix diy
Заменив независимую переменную t переменной tt, связанной с t соотношением
... dt
1 ~~ (a"X + b"y + c"f '
сделаем томографическое преобразование
_ ах 4- by -j- с а'X -j- b'y + с'
— „//v- I /,//,, L „// > Уі — '
¦ а" X + b"y + с"' 1 а" X -f b"y + с" '
Доказать, что точка (JllJ1) двигается во времени tlt как точка массы 1, находящаяся под действием силы F1, проекции которой X1, Yi зависят только от X1 и уь Траектория точки (^1, yj является томографическим преобразованием траектории точки (х, у) и направление силы F1 есть томографическое преобразование направления силы F.
Если сила F—центральная, то сила F1 тоже центральная или параллельная постоянному направлению. (А п п е л ь, Comptes rendus, т. CVIII, стр. 224.)
17. Доказать обратное: если надо найти наиболее общее преобразование
вида
= 'f У)- Уі = + У). ^dt1=X (х, у) dt
такое, что новая сила F1 зависит только от координат X1 и ylt и это имеет место, какова бы ни была сила F, зависящая от х и у, то получается только вышеуказанное томографическое преобразование. (American Journal, т. XII.)
18. Преобразование сферического движения в плоское. Даны сфера (S) радиуса 1 и касающаяся ее плоскость (P); каждой точке M1 на сфере ставится в соответствие проекция M этой точки на плоскость (P) при помощи радиуса, идущего от центра к Af1; это хорошо известная в теории географических карт так называемая центральная проекция', она ставит в соответствие любой прямой плоскости (P) большие круги на сфере (5) и наоборот. С точки зрения аналитической, если точку касания плоскости (P) и сферы (5) принять за полюс полярных координат на плоскости и на сфере, то, обозначая 446
