Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
439.
может иметь места, когда а и ? оба положительны, так как тогда z¦ будет
mv2 , mez ,
оставаться положительным и реакция —-—|—будет существенно положительной (см, упражнение 24).
279. Интегрирование в эллиптических функциях. Полученные нами формулы могут быть преобразованы таким образом, чтобы переменные выражались однозначными функциями t. Этим мы сейчас и займемся. Мы нашли
at=
± Y <р UO
Будем отсчитывать время от того момента, когда точка проходит через самое низкое положение A1. Мы должны будем взять перед радикалом знак минус, вследствие чего получим:
Idz
Y'ig t
IУ2g (a-Z) (Z--V) (Z -I) ' f d^
J Y(a — z)(z — B)(z—-
I J Y(^-Z)(Z-V)(Z--I) •
а
Для приведения этого интеграла к канонической форме, положим
а — г = (а — ?) и2.
Так как z изменяется между предельными значениями а и ?, то и колеблется: между 0 и 1. Из последнего равенства выводим
Z = а — (а — ?) U2, dz = — 2 (а— ?) и du и, подставляя в значение для t, получим
YJgt _ }_ 2 du__
і J YG
/(a — Y)(l — u2)(l '
где положено
a —Y
Величина k2 существенно положительна и меньше 1, так как а— наибольший из трех корней: a > ? > -f. Полагая, наконец,
, /2g(a-Y) 21 '
имеем
т. е. откуда
и = I du
J Y (і — и9-) (і — /??2)'
U = sn W, Z = а — (а — ?) sn2 it. 440 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА точки
Таким образом, z является двоякопериодической функцией переменного (. Один из периодов вещественный и равен
2_ Г_du_
х J Y ci — ifS)ci
Y (і — «2)(i — й2и2)'
Заметим, что Ya — z, Y2 — ?> Yz—Y являются однозначными функциями времени. В самом деле,
Ya — z = Ya — ? sn X/,
У"г — ? = Ya-?У1 — «3 = V^rP сп M,
У г —Y = — Y Y1 — ^2"2 = Y^zrI dn М.
Чтобы выразить хну как функции времени, вспомним, что мы получили
м Cdt
Если теперь заменить здесь z полученным для него ранее значением, то
станет рациональной функцией от sn kt; разложив ее на простые дроби
по методу Эрмита, можно будет выполнить интегрирование так, как это указывается в теории эллиптических функций. Получающаяся таким путем функция 6 не будет однозначной, но можно показать, что х и у получатся однозначными функциями времени t. Действительно, имеем
X-\-Iy = геЫ = YP-Z^e
. С Cdt
1J ртг
Можно доказать, что показательная функция не имеет критических точек, кроме как при значениях t, соответствующих значениям z = ± /, и что произведение
• Г с dt
YWHTzej
не имеет этих критических точек и будет однозначной функцией от t. Отсюда получится, что и вещественная часть х и мнимая часть у будут обе однозначными функциями от t. Этот метод принадлежит Тиссо (Journal de Liouville, 1852).
Эрмит дал прямое доказательство этого же самого свойства (Crelle, m. 85). Непосредственное отыскание функций х и у сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка, являющегося частным случаем уравнения Ляме, исследованного Эрмитом (Sur quelques applications des fonctions elliptiques). Действительно, мы установили ранее, что если N обозначает реакцию, то
сV1X Nx ir т .„ .
mIw=—Г' "=т(3** + А)>
и поэтому
<Рх_____ h
df- -xP--
Заменив в этой формуле z найденным выше значением, мы получим
LГ-Х .. 3?[а —(а —?)sn2M] + A ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ 441.
Это—линейное уравнение, частные интегралы которого определяют не только x(t), но и у (t), так как уравнение для у
d2y Ny
тж = -~г
будет таким же, как и уравнение для х. Если теперь положить Xt = t', то предыдущее уравнение примет вид
^r=X (6k2 sn2 t' + h'), dt'1
где h' обозначает постоянную. Это — уравнение Ляме
rf2 X
~^ = x[n(n+l)k2 sn2 t' + A'],
в котором п = 2.
280. Теорема Гринхилла. Мы обязаны Гринхиллю следующим интересным замечанием. Если сферическому маятнику сообщить на уровне центра горизонтальное движение, то существует линейная комбинация интегралов, определяющих 6 и t, являющаяся псевдоэллиптическим интегралом, т. е. таким, который может быть выражен в элементарных функциях. В самом деле, так как начальные значения г и у в момент ^ = O приняты равными нулю, то, обозначая через V0 начальную скорость, которая предполагается горизонтальной, имеем
С = Iv0, h = V20,
-J
I2V0 dz
J (/2 — Z2) Vz ^2g(l2 — Z2) — v0zJ '
-А
Idz
і V z\2g (I2-J)-viz] Из этих уравнений, как легко проверить, имеем
, V0 , . V0 Y-
I--- t= arcsin ¦
21 Ylg^2-Z2)'
или, обозначая через tp угол маятника с вертикалью, т. е. вводя г = / cos tp, получим
Sintp sin Ce - А = -Д=у COS
V 21 J Y Igl
Это соотношение совместно с тем, которое определяет Z ИЛИ I COS tp через эллиптические функции от J, позволяет выразить X, у, Z как однозначные функции от t.
281. Бесконечно малые колебания. Вводя нормальную реакцию N, имеем следующие уравнения движения маятника:
d?x Nx d2 у Ny (Pz Nz
mHt2=-—' тШ = -~Г> mIW = mS--T- (1>
Если колебания достаточно малы, то х и у будут оставаться очень малыми. Мы будем рассматривать их как бесконечно малые первого порядка 442 часть третья, динамика точки
