Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Как хорошо известно, эти три поверхности пересекают друг друга ортогонально. Например, две поверхности
JC?. V3 Z2
/і = + + —--1 =
а — Ч\ b — Qi с — Qi
* X2 , у2 , г2 , п
/, =-- -t- -г^------1=0
а — <73 b — <72 c — q 2
пересекаются ортогонально, так как условие
dAdAjrdAdJijrdAdJi = ^
дх дх ду ду дг дг как это можно непосредственно проверить, идентично уравнению
— Qi
Три величины <7Х, <72» <7з называются эллиптическими координатами точки M (х, у, г).
Чтобы выразить декартовы координаты х, у, г через qb q2, q3, заметим, что <7Х, <72, <7з являются тремя корнями уравнения (1) относительно X. Поэтому имеем тождественно
¦*2 і У2 і ^2__, _(Х-?1)(Х-9г)(Х-?3) _
а — X ^b- X-^c- X (а_Х)(6 — Х)(с — X)
_ (>-— Qi) fi— ?2)(>- —?з)
т • ()
Умножая обе части этого тождества на а—X и полагая затем \=а, получим
, _ (fl — Qi) (a — ?2) (а — Qs) (Ь — а) (с — а) ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
Точно так же найдем
455
У =
Ф — fr) (Ь — fr) (Ь — fr)
(іc — b)(a — b)
„ = (с —fr)(c —fr) (с — fr) (а-с)(Ь-с)
Вычислим теперь в этой системе координат выражение для as2. Взяв логарифмические производные обеих частей написанных выше равенств, имеем:
2 — X dq1 ¦ dq2 і
fr —а fr —а fr —а
,dy dq\ , ^fr , dgs
У fr-A 1 fr-й 1 fr — ?'
2 — Z dq, , dq* , dqs
fr —с 1 fr — с fr — с '
Отсюда для ids2 получится выражение вида
4 (dx2 Jr dy2 + dz2) = Mt dq\ + Af2 dq\ + M3 dq\.
В нем нет членов с dq,dq?, ..., так как поверхности пересекаются ортогонально. Легко проверить соотношение
= 0,
(a — qi)(a— fr) п (Ь — fr) (Ь — fr) (с — fr) (с — fr)
которое выражает, что коэффициент при dq,dq% равен нулю. Величины Af1, Af3, Af3 имеют следующие значения:
M1 =
У
(fr — а)2 ' (fr-*)2 ' (Чі-с)а
Если взять производные от обеих частей тождества (2) по X и затем положить X = fr, то, заметив, что в результате этой подстановки все члены второй части, содержащие множителем X — fr, обратятся в нуль и поэтому не будет надобности их вычислять, найдем
м __ (fr — fr) (fr — fr) Мі~ Ш)—'
где /(X) обозначает произведение (а—\)(b — X) (с — X). Точно так же получим
= (fr—fr) (fr —fr) & /(fr)
M9
M3 =
(03 — fr) (fr —fr)
Рис. 174.
fm
Заметим, что если, в частности, рассмотреть дугу кривой C1 пересечения двух поверхностей fr = const. Hfr = const, (рис. 174), то дифференциал Afs1 этой дуги получится, если положить
dg2 = dg3 = 0.
Отсюда
dsі = -1 YM1 dqv 456
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Точно так же, обозначая через ds2 и ds3 дуги кривых C2 и C3, по которым пересекаются поверхности ^1 = const., q3 = const, и поверхности qi = const., q2 = const., получим
ds2= j YM2i
dH =2 Йз dq3.
Тогда дугу ds любой кривой можно рассматривать как диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами dslt ds2, ds3. Величина T выражается в виде
т = т_/d*
m (dsVi m /.. /2 /2 ,2\
= T \dtJ = 8" W1 + 2^2 + ).
и уравнения Лагранжа теперь легко составить. Так как вид левых частей этих уравнений очевиден, то ограничимся определением правых частей.
Разложим силу F на три составляющие Fb F2, Fb, касающиеся соответственно кривых C1, С,, C3, считая эти составляющие положительными в направлении перемещения точки M вдоль каждой из этих кривых при увеличении только одной эллиптической координаты и при сохранении постоянными
двух других. Сообщим точке M возможное перемещение Bs1, при котором q2 и q3 остаются постоянными, a qv увеличивается на S^1. Тогда возможная работа силы F будет с одной стороны равна Q1 bqL. С другой стороны, так как работы сил F2 и Fi будут на рассматриваемом перемещении равны нулю, то работа силы F будет равна
F,
Ym1
Следовательно, имеем
Qi =
F1YM1
и точно так же
Рис. 175.
Q2 =
FoYM2 ¦2
F3YM3
287. Эллиптические координаты в плоскости ху. Эти координаты можно вывести из предыдущих формул. Чтобы получить точку M на плоскости хОу, достаточно в этих формулах положить z = 0, q3 = с. Тогда точка M будет определяться двумя эллиптическими координатами ^1 и q2y которые являются корнями уравнения второй степени относительно X
а — X b — X
= 1,
представляющего софокусные конические сечения. Через каждую точку M плоскости проходят два таких конических сечения: гипербола, соответствующая значению ^1 параметра X, и эллипс, соответствующий значению Тождество (2) в рассматриваемом случае принимает вид
X ¦
а— X
У~
¦ 1 = ¦
(X — ?i)(X — q2) (а —Х)(й —X) • ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ 457
Можно также получить либо непосредственно, либо как предельный случай предыдущих формул, формулы преобразования координат:
_ (а — дх)(а — д9) 2 _ (b — gy)(b — g,) Х'--^b ' Ь^а •
Выражение ds3 квадрата элемента дуги на плоскости хОу будет где
N = Яг —Я t N =_Я1 — Я2
1 (Я\—а)(Яі — Ь)' 2 (д2 — а)(д2 — Ь)ш
Отсюда
Наконец, если силу F, действующую на точку M в плоскости хOy, разложить на две составляющие, направленные по касательным к проходящим через точку M гиперболе и эллипсу (рис. 175), то получим
