Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
d yQ-Tv. dT _ dU
~dt ' ' ~~ HT '
т. е.
dT = dU, T=U+h,
что и является интегралом кинетической энергии. В приложениях наиболее сложное из трех уравнений Лагранжа заменяют этим первым интегралом.
284. Приложение. Задача. Найти движение материальной точки, которая притягивается ила отталкивается неподвижной осью с силой, являющейся заданной функцией расстояния (рис. 172).
Мы уже видели (п. 84), что в этом случае имеется силовая функция
J Ф dr, которую мы обозначим через mf(r). 29*452
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА точки
Мы будем определять положение точки ее цилиндрическими координатами г, 0, Z. Тогда получим
т = Y тФ
т_ ZdsVf "2 \di)
(,г'2 _[-/-"O'2 +г'2).
Вследствие этого, уравнения Лагранжа после сокращения на т будут
dt
¦ г20
/2
= /' (О,
dt
(/-2 0') = О,
dt
z' = 0.
Интегрируя два последних уравнения, получим
/-¦'О' = С, z' = а.
(1) (2)
Заменим теперь первое уравнение Лагранжа интегралом кинетической энергии. Имеем
¦я;
-г* О'2
Если заменить здесь z' и 0' их значениями из равенств (1) и (2), то получим
(3)
Это — уравнение вида
: ? (г),
из которого можно определить время простои квадратурой.
Можно было сразу написать уравнения (1), (2) и (3), не пользуясь уравнениями Лагранжа. В самом деле, так как сила все время пересекает ось Oz, то к проекции движения на плоскость ху применим закон площадей, что приводит к уравнению (1). Так как составляющая силы по оси Oz d">z
равна нулю, то — 0, z' = а и мы получаем уравнение (2). Наконец, уравнение (3) есть не что иное, как уравнение кинетической энергии.
Исключив из уравнений (1) и (2) время, мы получим дифференциальное уравнение
г2 db = — dz,
а
которому удовлетворяют траектории каков бы ни был закон сил. Если это уравнение написать в декартовых координатах, то получится
X dy — у dz = k dz.
Такое уравнение уже встречалось в упражнении 6 в конце главы I как дифференциальное уравнение кривых, касательные к которым являются прямыми нулевого момента.ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ
453
285. Сферические координаты. Пусть р, 6, ю — координаты точки M (рис. 173). Положим
P = 0 = Чь m = Qi-
Iorда имеем
T = 4L V"- = f (P'2 + P2S'2 + P3 Sin2 б*'2), и, следовательно, уравнения Лагранжа будут
L (mp') — тр (6'2 + ®'2 sin2 6) = Q1,
L (тр30') — /пр2®'2 sin 6 cos 6 = Q2,
d
dt
(mp2 sin? 6o>') = Q3.
Для вычисления Q1, Q2, Q3 применим указанный ранее метод. Обозначим через R, Q, P составляющие силы F соответственно по радиусу-вектору г, по перпендикуляру к плоскости гОМ и по перпендикуляру к плоскости составляющих R, Q; величины Р, Q, R считаются положительными, когда сни направлены в сторону возрастания соответствующих координат q, м или 0. Для возможного перемещения вдоль радиуса-вектора (<72 = const., Qr3 = const.) элементарная работа равна R Ьг и, следовательно,
Q1 = R.
На перемещении р 80, для которого р і} м остаются постоянными, элементарная работа равна Pp 80. Имеем поэтому
Q2 = Pp.
Если, наконец, оставлять неизменными р и 0, то перемещение будет совершаться по окружности с центром в точке О' и радиусом р sin 0; элементарная работа будет, следовательно, равна Qo sin О Sco, и мы получим
Q3 = Qp sin 6.
Если сила F пересекает ось z, то Q будет равно нулю, и из третьего уравнения Лагранжа найдем
mp- sin2 0Q)' = const.
Это уравнение выражает, что проекция точки на плоскость ху движется по закону площадей.
286. Эллиптические координаты в пространстве. В эллиптической системе координат точка M в пространстве определяется параметрами трея пересекающихся в этой точке поверхностей второго порядка, софокусных заданной. Пусть
Рис. 173.
У
1=0
а —I 1 J-JtC-/.' уравнение поверхностей второго порядка, софокусных поверхности
(1)454
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
Если для определенности мы положим а > b > с, то при X < с уравнение (1) представит вещественный эллипсоид, при b > X > с оно представит одно-полостный гиперболоид, при а>\>Ь—двуполостный гиперболоид и, наконец, при X > а — мнимый эллипсоид. Через каждую точку пространства проходят три таких софокусных поверхности. В самом деле, если х, у, г рассматривать как заданные величины, то уравнение (1), третьей степени относительно X, будет иметь три вещественных корня, из которых один меньше с, другой заключен между с и Ь, и третий — между b и а. Это можно проверить, подставляя в левую часть уравнения указанные ниже значения X и замечая, что знаки левой части будут определяться следующей таблицей, в которой є — очень малое положительное число:
Значения параметра X......—сс с — г
Соответствующие знаки левой части уравнения (])......— -f-
Положение корней........ q3
C-f-c b— ? Ь+є О. — ? Й+^ 4-М + - + - -
Qi <7,
Обозначим эти три корня в порядке убывания их величин через qb q2, <73. В случае X = получается двуполостный гиперболоид, в случае X = <72— однополостный гиперболоид и в случае X = <73 — эллипсоид.