Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 181

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 205 >> Следующая


d yQ-Tv. dT _ dU

~dt ' ' ~~ HT '

т. е.

dT = dU, T=U+h,

что и является интегралом кинетической энергии. В приложениях наиболее сложное из трех уравнений Лагранжа заменяют этим первым интегралом.

284. Приложение. Задача. Найти движение материальной точки, которая притягивается ила отталкивается неподвижной осью с силой, являющейся заданной функцией расстояния (рис. 172).

Мы уже видели (п. 84), что в этом случае имеется силовая функция

J Ф dr, которую мы обозначим через mf(r). 29* 452

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА точки

Мы будем определять положение точки ее цилиндрическими координатами г, 0, Z. Тогда получим

т = Y тФ

т_ ZdsVf "2 \di)

(,г'2 _[-/-"O'2 +г'2).

Вследствие этого, уравнения Лагранжа после сокращения на т будут

dt

¦ г20

/2

= /' (О,

dt

(/-2 0') = О,

dt

z' = 0.

Интегрируя два последних уравнения, получим

/-¦'О' = С, z' = а.

(1) (2)

Заменим теперь первое уравнение Лагранжа интегралом кинетической энергии. Имеем

¦я;



-г* О'2



Если заменить здесь z' и 0' их значениями из равенств (1) и (2), то получим



(3)

Это — уравнение вида

: ? (г),

из которого можно определить время простои квадратурой.

Можно было сразу написать уравнения (1), (2) и (3), не пользуясь уравнениями Лагранжа. В самом деле, так как сила все время пересекает ось Oz, то к проекции движения на плоскость ху применим закон площадей, что приводит к уравнению (1). Так как составляющая силы по оси Oz d">z

равна нулю, то — 0, z' = а и мы получаем уравнение (2). Наконец, уравнение (3) есть не что иное, как уравнение кинетической энергии.

Исключив из уравнений (1) и (2) время, мы получим дифференциальное уравнение

г2 db = — dz,

а

которому удовлетворяют траектории каков бы ни был закон сил. Если это уравнение написать в декартовых координатах, то получится

X dy — у dz = k dz.

Такое уравнение уже встречалось в упражнении 6 в конце главы I как дифференциальное уравнение кривых, касательные к которым являются прямыми нулевого момента. ГЛАВА XIV. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТОЧКИ

453

285. Сферические координаты. Пусть р, 6, ю — координаты точки M (рис. 173). Положим

P = 0 = Чь m = Qi-

Iorда имеем

T = 4L V"- = f (P'2 + P2S'2 + P3 Sin2 б*'2), и, следовательно, уравнения Лагранжа будут

L (mp') — тр (6'2 + ®'2 sin2 6) = Q1,

L (тр30') — /пр2®'2 sin 6 cos 6 = Q2,

d

dt

(mp2 sin? 6o>') = Q3.

Для вычисления Q1, Q2, Q3 применим указанный ранее метод. Обозначим через R, Q, P составляющие силы F соответственно по радиусу-вектору г, по перпендикуляру к плоскости гОМ и по перпендикуляру к плоскости составляющих R, Q; величины Р, Q, R считаются положительными, когда сни направлены в сторону возрастания соответствующих координат q, м или 0. Для возможного перемещения вдоль радиуса-вектора (<72 = const., Qr3 = const.) элементарная работа равна R Ьг и, следовательно,

Q1 = R.

На перемещении р 80, для которого р і} м остаются постоянными, элементарная работа равна Pp 80. Имеем поэтому

Q2 = Pp.

Если, наконец, оставлять неизменными р и 0, то перемещение будет совершаться по окружности с центром в точке О' и радиусом р sin 0; элементарная работа будет, следовательно, равна Qo sin О Sco, и мы получим

Q3 = Qp sin 6.

Если сила F пересекает ось z, то Q будет равно нулю, и из третьего уравнения Лагранжа найдем

mp- sin2 0Q)' = const.

Это уравнение выражает, что проекция точки на плоскость ху движется по закону площадей.

286. Эллиптические координаты в пространстве. В эллиптической системе координат точка M в пространстве определяется параметрами трея пересекающихся в этой точке поверхностей второго порядка, софокусных заданной. Пусть

Рис. 173.

У

1=0

а —I 1 J-JtC-/.' уравнение поверхностей второго порядка, софокусных поверхности

(1) 454

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ

Если для определенности мы положим а > b > с, то при X < с уравнение (1) представит вещественный эллипсоид, при b > X > с оно представит одно-полостный гиперболоид, при а>\>Ь—двуполостный гиперболоид и, наконец, при X > а — мнимый эллипсоид. Через каждую точку пространства проходят три таких софокусных поверхности. В самом деле, если х, у, г рассматривать как заданные величины, то уравнение (1), третьей степени относительно X, будет иметь три вещественных корня, из которых один меньше с, другой заключен между с и Ь, и третий — между b и а. Это можно проверить, подставляя в левую часть уравнения указанные ниже значения X и замечая, что знаки левой части будут определяться следующей таблицей, в которой є — очень малое положительное число:

Значения параметра X......—сс с — г

Соответствующие знаки левой части уравнения (])......— -f-

Положение корней........ q3

C-f-c b— ? Ь+є О. — ? Й+^ 4-М + - + - -

Qi <7,

Обозначим эти три корня в порядке убывания их величин через qb q2, <73. В случае X = получается двуполостный гиперболоид, в случае X = <72— однополостный гиперболоид и в случае X = <73 — эллипсоид.

Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed