Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
и будем пренебрегать членами второго порядка. Ограничиваясь такой степенью приближения, получим г = I, так как по формуле Тэйлора имеем
* = //»-<*« +уї)=/ (і
и второй член разложения есть член второго порядка. Таким образом, приближение, о котором мы говорим, сводится к допущению, что движущаяся точка не покидает касательной плоскости. Последнее из уравнений (1) упрощается:
И = mg.
Подставляя это значение в два первых, получим уравнения
<LL__1„
dfi - I ' dP~ І У'
совпадающие с уравнениями движения точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию. Траектория будет эллипсом с центром на оси z. Это видно из того, что полученные линейные уравнения имеют общие интегралы
л: = A cos t }/~-j- + В sin t ]/"-у-. у=Д'соз*]/~ -j- + B' Sin*]/" Допустим, что при t = О
dx dy
х = х0, у = у0, —=0, w = v0,
что равносильно проведению плоскости zOx через одну из вершин малого эллипса. Тогда получатся следующие значения постоянных:
А = х0, А'= О, B= О, В' = U0 ]/" -L t
откуда
х = ха cos t ]/"у-. У = U0 j- sin t \Z~-j-. Исключая t, получим непосредственно уравнение эллипса Период обращения равен 2я ]/~—.
Можно улучшить приближение, сохранив члены второго порядка. Для этого достаточно во вторых частях уравнений (1) заменить N его значением, полученным из первого приближения. Это вычисление выполнено Тиссераном (Bulletin des sciences mathematiques, 1881).
Другие методы приближения даны Резалем (Mecanique generale, т. 1, стр. 180) и де-Спарром (Annales de la Societe scientifique de Bruxelles, 1892).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Точка M с массой, равной 1, двигается по поверхности, заданной в прямоугольн ых координатах уравнением
!) О степени точности этого результата см. Крылов A. H., ЖРФХО, т. 609, 128 и Лекции о приближенных вычислениях, изд. 5, Москва 1950, § 82 (Прим. перев.).ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
443.
Она притягивается каждым элементом оси z с силой, равной отношению длины элемента к четвертой степени расстояния до точки М. Исследовать движение, которое может получить точка, и найти проекцию траектории на плоскость ху. Исследовать случай, когда в начальный момент точка нахо-
скостью ху угол, равный 45° (лиценциатская, Кан). f 2. Невесомая точка движется по сфере + У2 + ^2 — R2 = 0 под дей-
„ mlг2
ствием силы, направленной нормально к плоскости ху и равной ——,
где кг — постоянная. Найти движение и нормальную реакцию.
(Траектория — сферическое коническое сечение.)
3. Рассмотрим материальную точку M с массой, равной 1, находящуюся под действием силы F, проекции которой на три прямоугольные оси координат равны частным производным силовой функции U (х, у, z). Уравнение U = const представляет поверхность уровня, пересечение которой с произвольной поверхностью 5 можно назвать линией уровня на поверхности S. Определить эту последнюю поверхность таким образом, чтобы точка М, вынужденная на ней оставаться и предоставленная без начальной скорости действию силы F, описывала траекторию С, ортогональную всем линиям уровня. Если, например, на точку M действует только вес, то она должна падать на искомой поверхности вдоль линии наибольшего ската.
Доказать, что синус угла, под которым поверхность уровня пересекает поверхность 5, изменяется в различных точках линии пересечения в отношении, обратном силе F. (А. де С е н-Ж е р м е н, Journal de Math., октябрь, 1876.)
4. Свободная точка, находящаяся под действием только сопротивления среды, описывает прямую. Доказать, что точка, движущаяся по поверхности и находящаяся под действием только сопротивления среды и трения, описывает геодезическую линию.
5. Тяжелая материальная точка, оставаясь на поверхности сферы радиуса а, притягивается пропорционально расстоянию неподвижной точкой В, находящейся на вертикали Oz и проходящей через центр О сфера; расстояние OB = Ь. Даны значение jj. притяжения на единицу расстояния, ускорение g силы тяжести, начальная скорость k движущейся точки, предполагаемая горизонтальной, и, наконец, начальное расстояние h от точки до горизонтальной плоскости Oxу, проходящей через центр сферы. Требуется: 1) найти границы, между которыми изменяется во время движения координата z точки; 2) определить движение в частном случае, когда притяжение неподвижной точки В в центре сферы равно и противоположно весу.
6. Найти движение точки, движущейся на сфере и притягивающейся диаметральной плоскостью пропорционально расстоянию. Задача сводится к интегрированию уравнения Ляме. [К о б б, Comptes rendus, т. CVIII.]
7. Геодезические линии эллипсоида. Как следствие доказанного в тексте (п. 279) соотношения pD = const., доказать следующие предложения.
Если О и О'—две шаровые точки эллипсоида, не лежащие на одном диаметре, то МО и МО' — геодезические линии, соединяющие точку M с этими точками, а эти две линии одинаково наклонены к каждой из линий кривизны, проходящей через точку М.
Если точка M описывает линию кривизны, то сумма или разность дуг геодезических линий МО ± МО' — постоянна. (См. Journal de Liouville, 1846.)