Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
©¦+"©¦+(З)'-*"+*
28 Зак. 351. П. Аппсль, т. I 3.434
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Из уравнения сферы г = YI2 — г2 получим
¦ г dz
dr =
Y i2-
C другой стороны, из уравнения площадей имеем
й _ Cdt _ Cdt
Г2 ~~ /2 — 22 •
Подставляя в уравнение кинетической энергии, получим
Р (wf ¦{2gz + fl^p- г2) - С3"
Полагая
tP (г) = Qgz + h) Ca — Z-) — C2,
найдем окончательно:
dz , ,г—r-r , /' Idz
i~ = ±Y,(z),
dt
± Vv(z) '
Таким образом, время выражается через z эллиптическим интегралом. Знак перед радикалом определяется начальными условиями. Сомнение может возникнуть лишь в том случае, когда ^-Jfj = Ф тогДа нужно будет выяснить,
должно ли Z увеличиваться или, наоборот, уменьшаться для того, чтобы ср (z)
оставалось положительным.
^fl Cdt
Формула ao = —р— показывает, что проекция движущейся точки на
плоскость хОу все время поворачивается в одну и ту же сторону вокруг оси z, если только С не равно нулю; в последнем случае 0 будет оставаться постоянным, и мы получим математический маятник. Если в этой формуле заменить г2 и dt их выражениями через z, то получим
,и + Cldz
dv =- .
(I2-Z2)Yv(Z)
Таким образом, ( и 1 определены в функции z; после этого г найдется из уравнения сферы. Чтобы уравнения были вещественными, необходимо, чтобы многочлен Cp (z) был положителен. Этот многочлен имеет три вещественных корня. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить вместо z последовательно значения —оо, —/, Z0, -J-/, для которых ср (z) примет соответственно значения -J- оо, —С2, ср (20), —С2, и заметить, что так как Z0 является начальным
значением z, то ср (г0) будет положительным, так как начальное значение
вещественно. Следовательно, имеются два вещественных корня а и ? в промежутках ( -J- I, Z0) и (^0, —/) и один корень 1 в промежутке ( — /, —со). Сумма попарных произведений этих корней равна —12', следовательно,
Y(0+?) = _(/2 + 0?).
Так как а и ? заключены между — / и -J- /, то P -J- a? положительно, но т отрицательно и поэтому a -J- ? положительно; следовательно, параллель, равноотстоящая от параллелей z = а и z = ?, лежит всегда ниже центра, и корень а всегда положителен. Переменная z, начальное значение которой Z0 лежит между а и ?, остается, всегда заключенной в этом промежутке, так как, если бы она из него вышла, то ср (z) стало бы отрицательным. ГЛАВА XIII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ПОВЕРХНОСТИ
435
Допустим для определенности, что z, начиная с z = z0, сначала убывает. Тогда перед радикалом нужно будет взять знак минус и z будет уменьшаться до значения ?, так что когда точка достигнет параллели BB' (z = ?) в B1, ее траектория будет иметь горизонтальную касательную, так как в этом
dz ^ rf?
положении —обращается в нуль, а производная отлична от нуля.
Начиная с этого момента, движущаяся точка будет продолжать поворачиваться вокруг оси Z в том же направлении, но она будет при этом опускаться до параллели г = я, описывая дугу, касающуюся в A1 этой параллели (рис. 169). После этого она будет подниматься до параллели Z = ? и т. д. Время, затрачиваемое точкой для перехода из A1 в B2, будет
и оно будет таким же, как и время, необходимое для описания дуг B1A1, B2A2 и т. д.
Если начальная скорость точки направлена вдоль одной из крайних параллелей,
"то в начале движения будет = 0.
Это — сомнительный случай, о котором мы говорили выше. Если точка начинает движение по параллели z = ?, то z должно нужно взять знак плюс; во втором случае, параллели z = а, нужно взять знак минус.
Меридианные сечения, проходящие через точки касания траектории с крайними параллелями являются для траектории плоскостями симметрии. В самом деле, рассмотрим две точки MnM' ветвей A1B1 и A2B2, лежащие на одной параллели. Если 0, 0', O1 — значения 0, соответствующие точкам М, M' и A1, то имеем
возрастать и перед радикалом когда движение начинается вдоль
/
Cl dz
(?-z*)Yf{z)
f-
J (?
Cl dz
(P-z*) Yf (г)
Следовательно, обе точки M и M' действительно симметричны относительно меридиана точки A1. Кроме того, промежутки времени, затрачиваемые движущейся точкой для пробега дуг MA1 и A1M', одинаковы, так как они оба имеют одно и то же значение
/
Idz
Построим теперь проекцию траектории на. плоскость ху. Мы будем различать два случая в зависимости от лого, лежат ли крайние параллели на одной полусфере, или нет.
28* 436
ЧАСТЬ третья, динамика точки
Первый случай. Обе крайние параллели лежат на нижней полусфере. Расположенная ниже окружность Z = а проектируется внутрь окружности z = р; кривая, касающаяся поочередно этих окружностей, имеет вид, изображенный на рис. 170; кроме того, мы увидим, что эта кривая не может иметь точек, перегиба. Наблюдателю, расположенному на оси г, кажется, что движущаяся точка описывает овал, который перемещается в направлении движения. Ниже мы покажем, что угол B^OAi больше прямого.
Рис. 170. Рис. 171.
Второй случай. Допустим теперь, что обе крайние окружности расположены по разные стороны экватора. Проекция окружности z = а будет по-прежнему лежать внутри окружности Z = ?, так как а -(- ? > 0. С другой стороны, проекция траектории должна касаться экватора в точке Е. Она имеет указанную на рис. 171 форму; при этом она может иметь точки перегиба.
