Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ных мы придем к заданному уравнению с частными производными, но не к какому-либо другому. Поэтому определитель Д не может равняться нулю (см. Г у р с a, Equations aux derivees partielles, стр. 97).
Из того, что Д не равно нулю, можно заключить также, что шесть постоянных, входящих в интегралы (J1) и (J2) канонических уравнений, действительно различны, т. е. что можно определить O1, а9, а3 таким образом, чтобы при t = t0 величины gv д2, д3 приняли произвольные значения, после чего можно определить 6j, 6?, Ь3 так, чтобы при t = ^0 величины рх, р2, P3 тоже приняли любые наперед заданные значения.
298. Частный случай, когда t не входит явно в коэффициенты уравнения Якоби. Такой случай имеет место в механике, когда выражения х, у, г через д{, д2, д3 не содержат явно времени и когда имеется силовая функция U (х, у, г). Тогда, как мы видели в п. 293,
н(pv P2, Рз. Яз) = т~и, (11)
где T — квадратичная форма от pv р2, р3, В этом случае можно удовлетворить уравнению Якоби функцией V вида
V = — ht-\-W, (12)
где h — постоянная, a W — функция от qv q2, q3, но не от t.
Подставляя эту функцию V в уравнение (J) Якоби и замечая, что
jW___h dV _ dW dt ' dg, dg, '
мы получим для определения W уравнение
. , ufdW dW dW \ n
~н+и\ж- ж- qv q2' 93H0' (J)
Достаточно будет определить полный интеграл W (q,, q2, q3, a, ?, h) этого уравнения (J'), содержащий, кроме h, две постоянные а и ?, из которых ни одна не является аддитивной. Тогда, приняв
V = -ht+W(qv q2, q3, а, ?, К),
получим полный интеграл уравнения Якоби с тремя постоянными а, ?, h, играющими роль постоянных av а2, а3.
Интегралы (J1) и (J2) уравнений движения, если через а', ?' и —10 обозначить другие постоянные, играющие роль bv b2, b3, будут тогда иметь вид:
dW , dW а, , . dW ,
= ж = -'+Sir = -'* (J1)
dW dW dW /т,ч
рі = Ж' P2 = ~w Рз = ж- W
Первые два уравнения (J^)1 не содержащие t, определяют траекторию движущейся точки в системе координат qv q2, q3. Третье уравнение определяет время, затрачиваемое для прихода в какое-нибудь место на этой траектории. 478
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
Постоянная h будет тогда постоянной интеграла кинетической энергии. Действительно, уравнение (J') в силу значений вели-
dW dW dW /тА ,
чин -щ-, -щ-, -gjj- в уравнении (J2) обращается в следующее:
H(ри р2, р3, qv q2, q3) — h = О,
т. е. в интеграл кинетической энергии (п. 295).
299. Геометрическое свойство траекторий. Докажем следующее геометрическое свойство: Если постоянным а, ?, h придать произвольные фиксированные значения, а постоянные а', ?' изменять, то траектории, определяемые двумя первыми уравнениями (J^)1 будут нормальны к поверхностям, имеющим уравнение W=Const.
Эту теорему легко доказать, если воспользоваться декартовыми координатами, как мы это покажем в следующем пункте в качестве упражнения. Здесь мы докажем эту теорему в любой системе координат, чтобы иметь способ доказательства, который мог бы быть пригоден в дальнейшем при рассмотрении движения системы.
Заметим, что необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух бесконечно малых перемещений dx, dy, dz и Sx, S_y, 8z имеет вид
dx Sx + dy Sу + dz Sz = 0.
Если мы, в частности, допустим, что dx, dy, dz являются действительным перемещением движущейся точки по траектории за промежуток времени dt, a Sx, 8_у, Sz — произвольное перпендикулярное к нему перемещение, то, разделив условие ортогональности на dt и обозначив через х', у', z' производные ОТ X, у, Z по t, мы можем написать его в виде
х'Sx+ у'Ъу +г'Sz = O. (13)
При переходе от декартовых координат к новым координатам qu q2, q3 мы полагали
X = Viqu <72. <7з). У = ^iqi- 42- Qi)' z = m(qv q2, q3).
Отсюда
х' — Ll п' 4--^- а' 4-^- а' . . — dq, q^ dq2 q^ dq3 qV
Далее
»*-a>+&•»+?•»•.....
где Sq1, Sq2, Sq3 — бесконечно малые вариации координат q,, q2, q3, соответствующие перемещению Sx, 8_у, Sz. Если вспомнить, что кинетическая энергия выражается в виде ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 479
то условие ортогональности (13), как это легко проверить, можно представить в виде
-T^5?!+-7^8?+-T^-Sft= О, dq 1 dq,, dqs
или, на основании принятых ранее обозначений, в виде
Pi Ц1 + Р2Ц2 + Р3Ц3 = 0- (14)
Вернемся теперь к интересующей нас теореме. Мы хотим доказать, что траектория точки, определенная как указано в формулировке, нормальна к той из поверхностей
W(<7i> Яг> Яз- а< P' Щ = Const., (15)
которая проходит через рассматриваемое положение движущейся точки. Для этого достаточно показать, что скорость х', у', г' дви-щущейся точки перпендукулярна к любому перемещению Sijr1, 8<72, Sijr3, происходящему по поверхности (15), т. е. удовлетворяющему условию
dW s , d«7
0?Г8?1 + Ж8?2+0^8?3 = 0- (16)
Другими словами, достаточно показать, что это условие (16) необходимо влечет за собой условие, ортогональности (14). Но это очевидно на основании теоремы Якоби, так как значения pv р2, р3, вытекающие из этой теоремы [уравнения (J^ предыдущего пункта|, будут
