Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
TT+ V С). -^-. = 0.
Эти уравнения определяют г, 6, P1 и р2 в функции t. Из последнего
уравнения имеем р2 = С, и, подставляя во второе, получим г2 = С, что
является уравнением площадей. Исключая рх из первого и третьего и заменяя р2 величиной С, получим уравнение
d-r Г2
— = — 4- f' (г)
dt"- Г 3 ^
которое было выведено непосредственно в главе XI, как уравнение, определяющее движение по радиусу-вектору.
Теорема кинетической энергии выражается уравнением T—U = h или H = к.
II. Теорема Якоби
297. Теорема Якоби. В канонических уравнениях (6) H является функцией второй степени относительно P1, р2, р3. Теорема Якоби справедлива для любых уравнений вида (6), в которых H является произвольной заданной функцией от рх, рг, р3, Q1, q2, q3, t. Мы будем писать ее в виде H (pl: р2, р3, qv q2, q3, t), чтобы сделать явными входящие переменные. Основа теоремы Якоби заключается в том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик дифференциального уравнения с частными производными первого порядка
dV „/dV dV dV
(dV dV dV \ ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 473
определяющего V в функции qlt q2, q3, t, рассматриваемых как независимые переменные. Левая часть этого уравнения получается, если
к члену JJ- добавляется функция, в которую обращается Н, когда
dV dV dV в нем заменяют plt р2, р3 производными -щ-, • ~dq~'
Гамильтон показал, что если известен общий интеграл уравнений движения, представленных в канонической форме, то из него можно вывести полный интеграл этого уравнения с частными производными. Якоби дополнил эту теорему, доказав, что, обратно, если известен какой-нибудь полный интеграл этого уравнения с частными производными, то из него можно получить общий интеграл уравнений движения. Как мы только что говорили, это уравнение с частными производными, которое мы будем называть уравнением Якоби, подобрано таким образом, что уравнения движения (6) являются для него дифференциальными уравнениями характеристик согласно известному методу интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Мы не будем, однако, пользоваться этим методом.
Выясним сначала, какую форму должен иметь общий интеграл канонических уравнений. Уравнения (6) образуют систему шести уравнений первого порядка, определяющих qlt q2, q3, P1, р2, в функции t. Их общий интеграл представляется уравнениями вида
Q-, = fA^ fli. A2. аъ- bv К ьъ),
Pi — Ov (t, аи а2, а3, bv Ь2, Ь3) (v = 1, 2, 3) с шестью произвольными постоянными alt а2, аг„
bv ь2, ь3.
Уравнение с частными производными первого порядка (J) определяет некоторую функцию V переменных qlt q2, q3, t, рассматриваемых как независимые. Известно, что по Лагранжу полным интегралом уравнения с частными производными первого порядка называется решение этого уравнения, содержащее столько произвольных постоянных, сколько в нем содержится независимых переменных. В рассматриваемом случае полный интеграл должен содержать четыре произвольных постоянных. Но уравнение (J) содержит только производные от V. Поэтому, если оно обладает каким-нибудь решением V, то оно будет иметь и другое решение V —const. Следовательно, для того, чтобы иметь полный интеграл, достаточно найти решение
У (Qv Q2' Qv t, av а2, а3) (С)
с тремя произвольными постоянными alt а2, аъ, из которых ни одна не является аддитивной-, тогда функция V-I-cOnst- будет полным интегралом. Эта последняя постоянная, которую можно всегда добавить, не играет никакой роли в теореме Якоби. Последняя формулируется следующим образом: если для уравнения (J) найден полный интеграл вида (С), то конечные уравнения движенияг 474
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
дающие общий интеграл системы канонических уравнений, будут дУ і dV , dV -W=bI' W=zb^ W
dV dV d'V
pI-Wi' P2==W Ps==W' (a)
где b,, b2, b3—произвольные постоянные.
Три уравнения (J1), разрешенные относительно qlt q2, q3, определяют эти величины как функции времени и шести постоянных а,, а2, а3, b,, b2, by Если эти значения подставить в уравнения (J2), то последние определяют P1, р2, р3 в функции времени и тех же постоянных. Необходимо показать, что полученные таким образом выражения являются общим интегралом канонических уравнений
dq, __ дН dp,, _ дН
ЧГ-Ж' (V= 1, 2, 3). (6)
Уравнения (J1) образуют систему трех совместных уравнений относительно q,, q2, q3, t, определяющих q^, q2, q3 в функции t. Будем искать производные от q,, q2, q3 по t по теореме о неявных функциях, для чего продифференцируем уравнения (J1), рассматривая в них q,, q2, q3 как функции t. Таким путем получим:
d2V да, dt . d2V ' da, dq. dqi і dt ^r d2V da, dq2 dq, . dt ^t" dW da,dq3 dq?, dt
д2У dW dq, , d2V dq2 . d2V dq$
да2 dt da2dq, dt 1 da2dq2 dt da,dq3 dt
dW . da У dqi , dW dq% , d->-V dqз
даъ dt ' da3dq, dt 1 da3dq2 dt + da3dq3 dt
= 0, = 0,
¦ 0.
(7)
Из этих трех уравнений первой степени можно найти , dq% dq3
—fifi и нужно убедиться в том, что значения этих производных
удовлетворяют уравнениям (6), т. е., что они равны соответственно
