Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем в плоскости две точки, из которых одна — начало О, а другая — точка M1. Кривая, для которой действие от О до M1 имеет минимум, есть одна из траекторий, по которой движется тяжелая точка, брошенная из О со скоростью v0 = У2h, причем так, что она достигает точки M1. Если M1 находится внутри параболы безопасности — огибающей траекторий, выходящих из точки О, то существуют две траектории, ведущие из точки О в точку M1. Доказать, что относительный минимум имеет место для той параболы, для которой точка приходит в M1 до касания с параболой
УПРАЖНЕНИЯ 464
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА точки
безопасности (на рис. 139 это — внутренняя парабола) (правило Якоби). Если точка M1 достаточно близка к точке О, то дуга OM1 внутренней параболы также дает абсолютный минимум для действия, но этого не будет, если точка M1 близка к параболе безопасности. Так, если точка M1 находится на параболе безопасности, например в точке А, то траектория OA по-прежнему дает для действия относительный минимум, но не абсолютный. Это можно доказать, опираясь на результаты предыдущего упражнения, если приложить их к параболе безопасности, которая рассматривается как обобщенная развертка точки О. (Рассуждения совпадают с теми, которые дал Дарбу, Lefons sur Ia Theorie des surfaces, ч. 3, гл. V.)
5. Если в предыдущем примере точка Af1 находится вне параболы безопасности, то не существует траектории, идущей от О к M1, но в то же время должна существовать кривая, обращающая действие между О и Af1 в минимум. Доказать, что эта кривая образована двумя перпендикулярами, опущенными из точек О и M1 на прямую Ih — 2gy = 0 и частью этой прямой, заключенной между этими перпендикулярами (результат, аналогичный результату п. 148).
6. Исследование траекторий тяжелой точки на вертикальной плоскости хОу производится так же, как исследование геодезических линий на поверхности S', линейный элемент которой определяется формулой
ds'* = (2h — 2gy) (,dx2 + dy2).
Доказать, что эта поверхность развертывается на поверхность вращения, и составить уравнение меридиана. Если положить 2h — 2gy = и, Igx = V, то вновь получится упражнение п. 271.
7. Приложить принцип наименьшего действия к движению планет и разрешить для этого движения вопросы, аналогичные предыдущим (4, 5 и 6). (См. Якоби, Vorlesungen uber Dynamik*), лекция 6.)
8. Пусть ср (х, y,z) — положительная функция от х, у, z, а А и В — две неподвижные точки. Кривые С, соединяющие эти точки, вдоль которых интеграл J ср (х, у, z) ds имеет минимум, суть: 1) фигуры равновесия нити, для которой натяжение есть ср, а силовая функция — ср; 2) брахистохроны
для точки массы 1, когда силовая функция равна ———- , а начальна (X, у, Z)
V2
ная скорость в точке х0, у0, Z0 равна —---; 3) траектории свободной
T (-*о> Уо< zo)
точки массы 1 для силовой функции cf2(х, у, z) при начальной скорости, равной Y^ ¦ tP (-*<)• Уо' ^o)- (См. А н д у а й е, Comptes rendus, т. С, стр. 1577; В и к е р, т. CVI, стр. 458.)
9. Те же теоремы имеют место и для кривых, проведенных на неподвижной поверхности и обращающих J* cf ds в минимум.
10. Кривая, описываемая точкой под действием заданной силовой функции, обращающая в минимум интеграл J vn ds, где v = Y^ (U h), имеет
в каждой точке К, радиуса кривизны р, направленный по той же прямой, что и радиус кривизны P1 траектории, которую движущаяся точка описала бы, если бы она оказалась в положении X свободной; при этом р = р^h и когда п < 0 откладывается в сторону, противоположную той, куда отложен радиус кривизны pj.
Наиболее интересным случаем будет тот, для которого п = — I; тогда кривая будет брахистохроной. Таким образом вновь устанавливается связь
*) Имеется русский перевод (ОНТИ, 1936). (Прим. перев.) ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 465
между траекториями и брахистохронами, указанная в упражнении 8. (В и к е р, Savants etrangers и статья Жордана, Comptes rendus, т. СVIII, стр.330.) II. Вывести из принципа наименьшего действия уравнения Лагранжа. Возьмем, например, случай свободной точки, отнесенной к системе координат дъ дг, gs. Функция U будет функцией этих координат, а
ds2 = andg'f-j- ... -\-2a12dg1dq2-sr •¦•
Теперь нужно определить дъ дъ дл в функции вспомогательного переменного д таким образом, чтобы интеграл
Ъ
$ YWJ+h) ^d4
а
был минимумом. Делая в полученных уравнениях замену переменной по формуле (5) на странице 811, получим уравнения Лагранжа. Согласно упражнению 8 мы приходим, таким образом, к возможности приложения уравнений Лагранжа к фигуре равновесия нити. (Comptes rendus. т. XCVI, стр. 668.) ГЛАВА XV. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 466
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ЯКОБИ. ПРИЛОЖЕНИЯ
291. Историческая справка. Уравнения движения свободной точки или точки, движущейся по поверхности или по кривой как подвижным, так и неподвижным, были составлены Лагранжем в одинаковой для всех этих случаев форме с той лишь разницей, что число параметров, подлежащих определению в функции времени, равно трем для свободной точки, двум для точки на поверхности, и одному для точки на кривой (пп. 259, 263, 282). Мы увидим дальше, что уравнения самой общей задачи динамики системы могут быть составлены в этой же форме, но число параметров будет каким угодно, при условии, что связи могут быть выражены в конечной форме и что эти параметры, действительно являются координатами.
