Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Если положить
2Т = + + aB3Qs + 2я1а?& + 2flffl^ + 2«31 q'3q[,
или в более сжатой форме
2 7 = 2??? (aik = aki),
то получим
д T
А = -^т = anq[ + anq'2 + a13q'3, д T
Pi = J^r = O21Qr1 + V22Q2 + O23Qy Pi = --= azxQ[ + a32q'2 + a33q3. 470
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
Отсюда, обозначая через D дискриминант квадратичной формы, т. е.
dD
определитель девяти величин aik, а через Aik = -5---минор, со-
0агк
ответствующий элементу aik, получим
q\ = А А^гР2 А^рз) (v = і, 2,3),
и поэтому
2Т=Р1Я[+РА + Рлд'3 = 2 -^PiPk (Aik = Aki).
294. Примечание. Для того чтобы выполнить преобразование Гамильтона, нужно было предположить, что уравнения (2) разрешимы относительно qv q2, q3. Такое разрешение всегда возможно. Возьмем, например, случай, когда равенства, определяющие значения новых переменных, не содержат явно времени. Тогда T будет однородной функцией второго порядка, т. е. квадратичной формой относительно qv q2, q3, и определитель из коэффициентов при неизвестных в уравнениях (2) будет дискриминантом этой квадратичной формы. Если он равен нулю, то можно найти систему значений (<7]')°, / /\0 / /\0 / / /
(q2) , (<7jJ для qv q2, q3, не равных одновременно нулю, для которых все частные производные от T относительно этих переменных обращаются в нуль. Но это невозможно, так как на основании соотношения „„ / дТ . і дТ . і дТ dQi dq2 dq3
эти значения переменных обратят в нуль и функцию Т, а так как T является кинетической энергией, то оно не может обратиться в нуль при веществен-
Il' „ W
ных значениях qv q2, q3, т. е. при действительном движении точки. Мы видим, таким образом, что рассматриваемый определитель действительно всегда отличен от нуля и разрешение уравнений (2) всегда возможно. Если выражения х, у, z через qb q2, q3 содержат явно время, т. е.
X = ср (qlt q2, q3, t), у = ф (qv qb q3, t), z = со (qv q2, q3, t), то кинетическая энергия
не будет больше однородной относительно q'v q'v q'3. Но определитель коэффициентов при qv q2, q3 в уравнениях (2) будет тогда дискриминантом квадратичной формы
получаемой, если взять в T члены второго порядка. Этот дискриминант не может быть равен нулю, ибо в противном случае функция T1 обращалась бы в нуль при вещественных значениях qv q2, q3, не равных нулю одновременно. Но тогда существовало бы возможное перемещение точки, получающееся, если, оставляя t постоянным, изменить qv q<>, q3. и для этого
1 bjta + 5у2 + ог'Э
2 dt2
равна нулю, что невозможно.
была бы ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 471
295. Интеграл кинетической энергии. Мы видели раньше, что в случае, когда существует силовая функция U (х, у, г), имеется интеграл кинетической энергии вида
T— U = h.
Мы убедились в этом (пп. 261, 265, 283), предполагая, что выражения X, у, г через qv q2, q3 не зависят от времени. Таким образом, получается первый интеграл канонических уравнений, который может быть выведен из них непосредственным вычислением.
Чтобы убедиться в этом, предположим по-прежнему, что выражения X, у, г через qv q2, q3 не содержат t. В этом случае ни Т, ни U, ни Н, которое равно T—U, не содержат t. Если теперь предположить, что в функции H параметры qt, q2, q3 и величины plt р2, р3 заменены выражениями, которые они должны принять в функции времени в силу уравнений (6), то на основании теоремы о сложных функциях получим
dH _ дН dqx , дН dq9 , дН dq3
dt dqx dt ' dq-i dt ' dq3 dt '
, dH dpx . dH dp, . dH dp3
' Tp[ ~df ' Tfa ~df ' Tfa "'dt '
Но'на основании канонических уравнений имеем
дН__ dq^ дН_ dfa_ _ дН дН дН _
dq., dt ' dp,, dt dq,, др., др., dq,
и остается
-JT- = O или H = h, или T—U = h. dt
Если выражения х, у, г через qv q2, q3 зависят от времени, то H не будет больше равно T—U и не будет существовать интеграл H=h. В этом случае H будет содержать явно время и полная dH
производная взятая в предположении, что qv q2, _q3, pv р2, р3
рассматриваются как функции t, будет содержать еще один член,
а именно: частную производную ^LL от функции H по содержащейся
в ней явно переменной t, и после предыдущих сокращений получится
dH _ дН ~dt —~дГ'
296. Пример. Центральная сила — функция расстояния. Приведем для примера к каноническому виду уравнения движения точки на плоскости под действием центральной силы, являющейся функцией расстояния. Примем центр сил за начало координат и введем полярные координаты г и 0, которые будут играть роль параметров и q?:. Полагая массу равной единице, получим для кинетической энергии выражение
7=4(г'2 + Г20'2). 472
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
Силовая функция U является функцией переменного г, т. е. U = Ir (г). Так как T однородно относительно г' и 6', то
H=T-U=L (r'2 + г20'2) - T (г).
Переменные P1 и р2 определяются уравнениями дТ , дТ
Pi =
откуда получаем
Pi = W=r, p2-w
Г'=Pb в'-Л
Следовательно, выражение H в этих новых переменных будет иметь вид и канонические уравнения будут
dr _ rffl р2 df~Pl' ~dt
dPl Р\ , „,, dPi ИГ
