Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
дН дН дН tI производным ~др~' так как в °"щем слУчае система
уравнений первого порядка имеет только одно решение, то достаточно убедиться, что уравнения (7) удовлетворяются, если в них
dq, dq, dq, дН дН дН „
вместо , —vr^, -тг подставить -3—, —, —. Достаточно, dt dt at dp, др2 дря
например, проверить, выполняется ли тождество
д9-У dW дН . діу дН , д°У dH__ да! dt ' da,dq, dp, ' da,dq2 др2 ' da1dq3 др3 '
после того как в нем величины q,, q2, q3, р,, р2, р3 будут заменены их значениями в функции t и шести произвольных постоянных, полученными из уравнений (J1) и (J2). Но мы сейчас докажем, что это уравнение является тождеством относительно q,, q2, q3, t, a,, a2, a3, если в нем заменить plt p2, p3 их значениями (J2). В самом деле, ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 475
если в уравнение (J) подставить вместо v полный интеграл (С), то полученное от этой подстановки равенство будет тождественно равно нулю, каковы бы ни были qv q2, q3, t, a,, a2, a3. Частные производные этого равенства относительно каждой из величин Qv Qi' Qv t' av а2' аз будут также тождественно равны нулю. Напишем, что частная производная по а1 уравнения (J) равна тождественно нулю:
dW і dH &>-V , дН &>-V , дН &V да, dt ' d(aV_\ da,dq, da,dq2 ^~d(dV_\ da,dq3 ~ ' ( У
V dq, J V dq2 ) \ dq3 )
/in dV
так как левая часть равенства (J) зависит от а, через член и вели-
dV dV dV г, Q
чины -з— , -3—, —входящие в Н. Это тождество (8 ) в точности dqі dqa dq3
выражает то, что мы хотим доказать, а именно, что выражение (8)
является тождеством, когда в нем р,, р2, р3 заменены значениями (J2).
^ • - ^dHdHdH
Точно так же убеждаемся, что подстановка значений —, —, —
dp, dp2 dp3
вместо , JlL ( 111, в два других уравнения (7) обращают их в тождества.
Мы доказали, что значения qv q2, q3, определяемые уравнениями (J1),
dq., dH
удовлетворяют уравнениям остается убедиться в том,
что значения р,, р2, р3, определяемые уравнениями (J2), удовлетворяют уравнениям
dp., ^ dH dt ~ dq„ '
Проверим это для pv Так как зависит от t непосредственно
oq,
и через qv q2, q3, то из уравнений (J2) получим
dp, _ Qiy d2V dq, dP-V dq, ^ d2V dq3 dt dq1 dt dq\ dt dq1 dq9 dt dqY dq3 dt
Требуется показать, что полученное выражение для совпадает dH
с выражением--в силу равенств (J1) и (J2). Но мы только что
dq. dq9 dq3 dH dH dH
доказали, что ~, ~, совпадают тождественно C3-, 3—, з—;
dt dt dt dp, dp2 op3
dp і
dt
dH
приравнивая результат величине--dq~' МЬІ П0ЛУЧИМ Уравнение
dW , d"-V dH , d"-V oH , d"-V dH dH
dq1dt dq{ dPl dqYdq2 dp2 dq1dqa dPis dq1 476
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ, ДИНАМИКА ТОЧКИ
которое должно быть тождеством в силу равенств (J1) и (J2). Покажем, как мы это делали выше, что оно тождественно удовлетворяется при замене р,, р2, р3 значениями (J2). Действительно, если подставить в левую часть уравнения Якоби (J) полный интеграл V, то результат такой подстановки будет тождественно равен нулю при любых значениях q,, q2, q3, t, a,, a2, a3. Следовательно, производная этой левой части по qx будет также тождественно равна нулю. Написав это, получим уравнение
dW , дН , дН dW , dH
~2 ~Т
Oq1 dt ' dq,
дН d"-V
\dqj KdqiJ Kdq3J
:0, (90
выражающее, что равенство (9) обращается в тождество, если в нем
dV дУ dV
вместо pv р2, р3 подставить
dq, ' dq2 ' dq3 '
Таким образом, теорема Якоби доказана. Интегрирование уравнений движения сведено, следовательно, к нахождению полного интеграла уравнения (J). Наоборот, если бы мы пожелали классическими методами проинтегрировать уравнение Якоби, то нам пришлось бы сначала проинтегрировать канонические уравнения. Можно, сказать, что две задачи анализа: интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения (J) — эквивалентны в том смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой.
Примечание. Мы допустили, что система уравнений первой сте-dq, dq2 dq3
- —-- имеет только одно решение, т. е. что
пени (7) относительно •определитель
dt
Д =
dt ff1 V
d"-V
d*V
daі dq, da, dg% daі dq3
dW d*'V
da2 dqL da2 dq2 daо dq3
d*-y дГ-V &V
да3 dqi da3 dq2 da3 dq3
не равен нулю. Ho этот определитель является функциональным определи-dV dV dV
телем производных -g—, -j—, -5—, рассматриваемых как функции от а,, а0, Oq1 Oq2 Oq3
dV dV dV
а3. Если этот определитель равен нулю, то
dq, ' dq2 ' dq3
соотношением вида
ф(дУ_ дУ_ дУ \_0 К dq, ' dq, ' dq3 J
будут связаны
(10)
с коэффициентами, не зависящими от av До, а3, т. е. являющимися функциями от qv qb q3, t, Но тогда функция У не будет больше полным интегралом уравнения Якоби, так как она удовлетворяет не только уравнению ЙаОби, но еще и уравнению (10), которое не содержит t и поэтому отличается от уравнения Якоби. Но, как известно, существенным свойством полного интеграла является то, что по исключении содержащихся в нем постоян- ГЛАВА XV. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
477
