Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Z 0' Е/ ^—^
М/ /а л P J
СО У
интеграл этого уравнения будет
S = A cos t ]
g
4 R
+ BsiUtyr^; он приводится к виду s = s0 cos t
+
g
4 R '
Рис. 159.
если в начальный момент дуга S = S0, а начальная скорость равна нулю. При этих условиях время, необходимое для достижения наиболее низкой точки, равно T = ^YRig- Период колебания не зависит, следовательно, от начального положения точки, т. е. от амплитуды: движение будет таутохронным.
Гюйгенс осуществил циклоидальный маятник следующим образом: в точке возврата О' развертки он закрепил нить длины 4R, равной дуге О'А развертки. По указанным выше свойствам, если нить заставить последовательно огибать обе дуги О'А и О'А', то конец M нити опишет рассматриваемую циклоиду.
Нормальная реакция. Одно из естественных уравнений движения будет
Fn + N =
mv
Но
vn- = 2g(a — г), р = 2MB, Fn = - mg cos я =
¦ "ig -
2 R-
MB
где через а обозначен угол между нормалью и вертикальной линией и 2R — г ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
389
равно проекции MB на вертикаль. Тогда
= mg (а — z) mg (2R — z) MB MB
В частном случае, когда точка отпускается без начальной скорости из точки возврата, имеем а = 2R, первое отношение станет равным второму и реакция будет
N~ MB - ltn'
t. е. она будет по модулю равна, а по направлению противоположна удвоенной нормальной составляющей веса (Эйлер).
251. Движение тяжелой точки по кривой, расположенной в вертикальной плоскости, при действии трения и сопротивления среды. Допустим, для определенности, что кривая обращена вогнутостью вверх и что точка движется в направлении, противоположном направлению O'S, принятому за положительное направление отсчета дуг (рис. 160).
Обозначим через а угол между горизонталью и касательной MT, проведенной в сторону положительных дуг. Силами, действующими на точку, будут вес mg, нормальная реакция N, сила трения /А/ (п. 195) и сопротивление среды R = пicp(г>). Последние две силы направлены в сторону, противоположную скорости, т. е. по касательной MT. Естественными уравнениями будут:
d'ig
т = — mg sin я. -(- fN -)- тъ (x>), mv- .,
-= N — mg cos a.
P
d2s
Исключая N из этих двух уравнений и заменяя производной
dv 1 d(v2)
— —, получим уравнение
= — 2g (sin a -/ cos a) + 2/ j + 2<p (v). (1)
Вдоль кривой переменные аир являются известными функциями дуги S. Мы имеем, следовательно, дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее v в функции s. После того, как эта функция будет найдена, величина t выразится через s при помощи квадратуры. Если сопротивление равно нулю или пропорционально квадрату скорости |ср(х>) = kv2\, то уравнение будет линейным относительно V2 и можно будет закончить вычисления.
Рис. 160. 3.390
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Точка кривой, в которой sin а—/cos а обращается в нуль, является предельным положением равновесия для движущейся точки, если принимать во внимание трение и считать при этом / коэффициентом трения в момент начала движения (п. 190).
252. Таутохроны. Выше мы нашли, что движение тяжелой точки по циклоиде является таутохронным. Рассмотрим общий случай движения точки по любой заданной материальной кривой, под действием сил, тоже заданных. Говорят, что кривая является таутохроной, если на ней существует точка О' такая, что движущаяся точка, предоставленная самой себе без начальной скорости, приходит в положение О' за одно и то же время, каково бы ни было ее начальное положение. Точка О' называется точкой таутохронизма.
Необходимо различать два случая, а именно: будет ли точка находиться под действием сил, зависящих только от ее положения, или зависящих также и от скорости.
Первый случай. Силы зависят только от положения. Тогда возникает следующая задача
Пусть F (X, Y, Z), где X, Y, Z — функции только х, у, z — суть заданные силы. По какой кривой нужно заставить двигаться без трения точку, чтобы движение было таутохронным?
Допустим, что одна из этих таутохронных кривых найдена, и будем отсчитывать дуги от точки таутохронизма О'. Имеем уравнение движения
сPs „ „ dx ... dy . „ dz т -тъ = Ft = X -г-+ y^T +-Z -J-• dp 1 ds 1 as ds
Вдоль кривой координаты х, у, z являются функциями дуги s. Следовательно, X, Y, Z будут также определенными функциями от s и в уравнении правая часть Ft является функцией от s. Это уравнение будет тогда совпадать с уравнением прямолинейного движения, происходящим по оси O's под действием силы Ft, зависящей только от положения точки. Требуется, чтобы это движение было таутохронным. Но мы видели, на основании метода Пюизё (п. 213), что необходимое и достаточное условие таутохронизма заключается в том, что сила Ft должна быть вида —k2s, где A2 — положительная постоянная. Следовательно, для того, чтобы предложенная кривая была таутохроной, необходимо и достаточно, чтобы
X^ + Y-^-+Z~ = — k2s. (1)
ds 1 ds 1 ds '
Всякая кривая, удовлетворяющая этому единственному условию, будет таутохроной. Точка таутохронизма S = O будет, очевидно, положением устойчивого равновесия для точки, движущейся по этой кривой.
