Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
через X0, у0, Z0 координаты точки А, имеем по теореме кинетической энергии
mv' mv0
~2---= U^x' у' z^ ~U(-rC Уо- го).
или. полагая
имеем
ь mVO ,г, ч ds
h = —2--U z^ v = ~dt'
I/і* ds
V m YcIUix. v. z\4-2h Vm J
(B)
ds
Y^u (X, y, Z) + 2h ' V m J Y?U (X, y, z) 4- 2h '
(A)
Таков будет интеграл, который требуется обратить в минимум. Он принадлежит к общему типу, изученному в главе VII, § III, если в последнем положить
1
ш (X, у, z) = - .
Y2U(x, у, z) + 2h
Согласно тому, что мы получили в главе VII для кривых, обращающих в минимум интеграл
(В)
f <р (х, у, z) ds,
(І)
искомая кривая является фигурой равновесия гибкой нити под действием силы F1 с проекциями
dl dl dl
dxYl(U + h)' ду Y2(U+h)" dz /2(U + h) '
1
причем натяжение нити равно — -.
Y2(U+h)
Получаемые таким путем уравнения даны Рожером (Journal de Liou-ville, 1848).
Известно, что задачу можно свести к квадратурам, если фиктивная сила F1, а следовательно, и сила F являются зависящими от расстояния силами притяжения неподвижной точкой, или прямой, или плоскостью.
Теорема Эйлера. При движении по брахистохроне нормальная реакция направлена по главной нормали; она равна по модулю и противоположна по направлению удвоенной нормальной составляющей действующей силы.
В самом деле, будем рассматривать кривую как фигуру равновесия нити. Составляющие фиктивной силы F1, действующей на нить, которою мы, по предположению, заменяем кривую, будут:
Jf1 = [2 (f/+A)]™ ^L, дх
Yi = [2 (?/ 4- h)] 2 ^L,
ду
Z1 = [2 (^+A)]™ ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ 397
а натяжение нити будет
T = 1
V2(U+h) '
С другой стороны, сила, фактически действующая на движущуюся точку, имеет проекции
dU dU дЦ
дх ' ду ' dz ' Естественные уравнения равновесия нити здесь имеют вид
(Zjl1)b = O. (F1)n = - у.
Так как проекции силы F1, на декортовы оси равны проекциям силы P умноженным на [2(U + А)]-"'1, то так же будут преобразовываться и проекции на нормаль и бинормаль. Следовательно,
/, = 0, [2 = (1)
откуда
-2 (U+h)
Fn=-P-
или, на основании теоремы кинетической энергии,
V2
Fn = — т — • (2)
Возьмем теперь естественные уравнения движения. Имеем ^ + = Fir +Nn = т^-
или, принимая во внимание равенства (1) и (2),
AT6 = O1 N= — 2Fn.
Эти два равенства и доказывают высказанное предложение, которое мы уже проверили для циклоиды (п. 250). По поводу этой теоремы можно указать на статью Андуайе (Comptes rendus, т. С).
Гатон де ля Гупийер дополнил исследование брахистохрон, разобрав случай одновременного действия сил, зависящих от скорости, и сил трения и разрешив обратную брахистохронам задачу (Memoires de I'Academie, т. XXVII и XXVIII)."
256. Приложение теорем Томсона и Тэта к брахистохронам. В главе VII мы указали несколько интересных свойств кривых, обращающих в минимум интеграл вида
(В)
I= J fU у, г) as. (1)
(А)
Эти свойства, если их, в частности, приложить к брахистохронам, получают простое выражение. Брахистохроны в случае сил, имеющих силовую функцию U(л1, у, г), получаются как кривые, обращающие в минимум интеграл
(В)
t= f - 1 - ds, (2)
J Y2(U+h)
(А) 3.398
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
где А имеет определенное значение. Если эта постоянная выбрана, то во всех рассматриваемых движениях начальное положение и величина начальной скорости связаны соотношением
о V0
~2--и (*<>• Уо. ^o) = h.
Следовательно, интеграл (1) совпадает тождественно с интегралом (2), если принять
If (х, у, г) = ,
Y2[U(x, у, г)+А)
и значение интеграла I вдоль участка AB какой-нибудь кривой будет в точности равно времени t, которое понадобится точке массы единицы, чтобы переместиться по этой кривой под действием рассматриваемой силы и при указанных начальных условиях из А в В.
Брахистохроны будут тогда кривыми, которые раньше были названы кривыми С (п. 146), зависящими от четырех произвольных постоянных. Например, если принять U = — gz, А = 0, то брахистохроны будут циклоидами, лежащими в вертикальных плоскостях ниже плоскости ху и имеющими точки возврата на плоскости ху.
Возвращаясь к общему случаю, мы можем основную формулу Тэта и Томсона выразить так:
Пусть ACB и AlC1Bi — две бесконечно близкие брахистохроны, описываемые точкой массы 1, — первая за время t, а вторая за время t + W; тогда имеем (п. 147)
~АА X—\ ~ВВ ^^
U =----1 cos BAA1----1 cos ABB1,
Y2(UA + h) Y2(UB+h) ь
где Ua и Ub являются значениями функции U на концах А и В.
Тогда из формулы Тэта и Томсона, полученной в п. 147, вытекают следующие результаты:
1°. Если заданы две неподвижные поверхности ShS, то кривая, которую нужно провести между ними таким образом, чтобы движущаяся по ней при указанных начальных условиях точка описала ее за минимальное время, является брахистохроной, которая одновременно нормальна к обеим поверхностям. Теорема остается справедливой, если одна или обе эти поверхности заменяются кривой или точкой.
Например, если даны точка А и плоскость Р, то кривая, которую нужно провести от А до плоскости таким образом, чтобы пущенная по этой кривой из А без начальной скорости тяжелая точка достигла плоскости за кратчайший промежуток времени, является циклоидой с горизонтальным основанием, лежащей в вертикальной плоскости, имеющей в А точку возврата и пересекающей нормально плоскость Р.
