Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
3/
О < а < -j, или, заменяя а его значением, если
f2gl < v0 < Y5gl.
где v0, как и выше, обозначает скорость в самой низкой точке.
249. Движение математического маятника в сопротивляющейся среде. Если не пренебрегать сопротивлением среды, в которой происходит движение, то достаточно к силам N и —mg, действующим на точку, добавить третью силу R, направленную по касательной к траектории в сторону, противоположную движению, и возрастающую вместе со скоростью.
Уравнение кинетической энергии или первое естественное уравнение
представится тогда в виде
ml — = — mg sin ft — R,
*) Речь идет о касании второго порядка. (Прим. перев.) 3.386
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
в котором силы спроектированы на касательную, направленную в сторону положительных дуг.
1°. Рассмотрим случай малых колебаний в среде, в которой сопротивление пропорционально скорости. При этих предположениях имеем
=2 ftu ml iR dt '
и уравнение движения после замены sin 0 на 0 примет вид
d* О dt2
db
+ 2*w+f e = °-
Это уравнение одинаково пригодно как для восходящего движения, так и для нисходящего, так как знак силы R изменяется с направлением движения. Уравнение движения является линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования положим
0 =Brt,
и тогда для нахождения г получим уравнение
r* + 2kr + f = 0,
r = — k
±\/~ к2-
Если предположить сопротивление небольшим, то оба эти корня будут комплексными и мы можем написать
r = — k±pi, ^ = JL — k2t так что общий интеграл уравнения движения будет
і — p-kt
(A cos p.t 4- В sin (a).
db_ dt
Угловую скорость найдем из равенства = e-kt [№ — Ak) cos fit — (Лц 4- Bk) sin (4].
Допустим, что движущаяся точка опускается без начальной скорости из положения Af0; пусть 0„ — угол начального отклонения. Полагая в предыдущих формулах t = 0, мы видим, что
Рис. 158.
Л = 60, B = ^. При этих значениях постоянных для угловой скорости получим
de
м*» +Hywrinil,.
dt ц
Движущаяся точка, выходя из M0, опишет дугу окружности и дойдет до точки Al1 (рис. 158), в которой скорость обращается в нуль. Продолжительность этого полуразмаха есть первое значение переменной t, обращающее в нуль ^7-, т. е. ti = —. После этого точка будет двигаться обратно dt P
2я
до положения Al2, в которое она придет к моменту t2 = — и т. д. Колеба- ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
387
ния будут изохронными, как и в пустоте, но продолжительность каждого из этих колебаний несколько увеличится, так как < Уg;l и, следовательно, «/їх > л YTjg.
Для изучения изменения амплитуды возьмем снова выражение, для 0:
I = е~Ы (б0 COS Iii + ^ Sin [X^ .
Полагая I1 = — , найдем M-
к-к
6г = -*~60.
Следовательно, B1 < 60. К моменту U = — будет B3 = В0<? 2ftx^ и т. д. Следовательно, амплитуды изменяются по закону геометрической прогрессии со знаменателем —e~k
2°. Уравнение движения легко интегрируется в случае колебаний с конечной амплитудой и в случае сопротивления, пропорционального квадрату скорости. Для восходящего движения имеем
dt2 I
-•--(fr-
а уравнение нисходящего движения получится, если заменить ft2 величине
ной —№. Примем за новую переменную 6' г=—. Имеем
d%' __ d%' d% _ d6' dt dB ~dt dB
и уравнение движения станет линейным относительно
Уравнение без правой части имеет общий интеграл б'2 = Ае~271'9, Будем искать частный интеграл полного уравнения в виде В'2 = X cos 6 -f- (х sin 6. Легко видеть, что для того, чтобы удовлетворялось предложенное уравнение, достаточно взять
, _ 2S ,. _ 4Vg
KW + 1) ' 1(4/И+1)
и общий интеграл будет
В'2 = Ae-***+ cos« 4^
I (Aki + і) l(W+\)
Отсюда можно найти 8 при помощи квадратуры, которая для случая очень малых амплитуд может быть выполнена в конечной форме.
250. Циклоидальный маятник. Под этим термином мы понимаем материальную точку, перемещающуюся без трения по циклоиде с горизонтальной осью, расположенной в вертикальной плоскости и обращенной вогнутостью вверх.
Примем за начало самую низкую точку кривой и за ось г — направленную вверх вертикаль; пусть R — радиус образующего круга.
Напомним прежде всего некоторые элементарные свойства циклоиды. Рассмотрим какое-нибудь положение образующего круга и соответствующее 3.388
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
положение точки М, описывающей циклоиду. Нормалью к кривой будет прямая MB (рис. 159), центр кривизны находится в точке Е, симметричной к M Относительно В, и геометрическое место центров кривизны ? является циклоидой, одинаковой с заданной и с вершинами в точках А и А'. Наконец, касательная MC равна половине дуги ОМ, которую мы обозначим через s.
В прямоугольном треугольнике ВМС имеем
т. е.
MC- = ВС • СР, = 2 Rz,
ds
S
4R1
Проекция веса на касательную, равная
dz « 'mgIs' УДЄТ
'mg4R' СЛЄ"
довательно, уравнение кинетической энергии, или естественное уравнение, будет
d->s _ g
dt2
4 R-
Мы вновь получили такое же уравнение, как и в случае прямолинейного движения материальной точки, притягиваемой неподвижным центром пропорционально расстоянию. Общий
