Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы закончить решение, можно произвольно задаться вторым условием. Вот, например, два различных способа выбора этого дополнительного условия. ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ 391
1°. Можно заставить кривую находиться на заданной поверхности
f(x, у, 2) = 0. (2)
Это уравнение и уравнение (1) совместно с очевидным уравнением
т+т+т='
определяют X, у, г в функции t. Интегрирование этих уравнений введет еще две произвольные постоянные, кроме k2, которая уже выбрана произвольно. Если сила имеет силовую функцию, то уравнение (1) сразу проинтегрируется, так как тогда
Xdx-\-Ydy + Zdz = dU(x, у, z) = — kisds,
откуда
U(x, у, Z) = -^+С.
2°. Вместо того, чтобы заставлять кривую находиться на задан ной поверхности, можно потребовать, чтобы она была также таутохроной с той же самой точкой таутохронизма для другого закона силы X1, K1, Z1, зависящей только от положения движущейся точкй. Для этого необходимо и достаточно, чтобы, кроме уравнения (1), удовлетворялось еще уравнение
Оба уравнения (1) и (1') совместно с уравнением (3) определяют х, у, Z в функции s. Полученная кривая будет таутохроной и для
силы XAr-I-JAAr1.....где \ и ja—положительные постоянные.
Если вторая сила имеет силовую функцию U1 так же, как и первая, то будет еще
k2s2
U,(x, у, Z) =--g-+C„
и тогда искомая кривая будет находиться на поверхности
k\\U(x, у, z) — C)=k2\Ux(x, у, г) — C1].
Второй случай. Силы зависят от скорости. Допустим, что сила X, К, Z может зависеть, но может и не зависеть от скорости. Кроме того, имеется сила сопротивления среды, которая является
ds
функцией скорости: R = ср (v), где v равно —. Уравнение движения по искомой кривой будет
d"s v dx , ,. dy . v dz . I ds\
где X, у, z — функции от s. Правая часть, в которой первые члены
dx dy dz , .
зависят от X, у, z, —т~, —4г, -п-, может быть выражена в функ- 392
часть третья, динамика точки
ции S и . Тогда уравнение будет совпадать с уравнением прямолинейного движения точки по оси O's под действием силы, завися-шей от положения и скорости. Для этого случая не известны необходимые и достаточные условия таутохронизма; известно лишь, что таутохронизм будет иметь место, если сила следует некоторым определенным законам, например законам, установленным Лагранжем (п. 213). Следовательно, для нахождения таутохронных кривых нужно приравнять, если это возможно, выражение
одному из этих законов сил, например, закону Лагранжа.
Мы не рассматриваем здесь подробно этот случай, так же как и случай, когда к сопротивлению среды добавляется трение. Мы отсылаем читателя к статье Дарбу (Mecanique de Despeyrous, т. 1, добавление XIII), к статье Гатона де ля Гупийера (Journal de Liou-ville, т. XIII, серия 2) и к статье Адамара (Proces-verbaux des s?ances de Ia 5ос1ё1ё des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 7 февраля 1895).
253. Приложения. 1°. Тяжелая точка, движущаяся при отсутствии сопротивления среды и трения. Прежде всего можно свести нахождение пространственных таутохронных кривых под действием веса к нахождению плоских кривых. В самом деле, вообразим пространственную таутохронную кривую С и рассмотрим цилиндр, проектирующий эту кривую на горизонтальную плоскость. Если развернуть этот цилиндр на вертикальную плоскость, удерживая его образующие вертикально, то кривая С перейдет в плоскую кривую С" той же длины, а касательная, составляющая Ft веса точки, не изменится. Вследствие этого движение не изменится, и новая кривая будет 'таутохроной. Обратная операция позволяет переходить от плоской кривой С" к пространственной С.
Докажем, что единственной таутохронной кривой для веса в вертикальной плоскости является циклоида.
Примем за начало точку таутохронизма на таутохронной кривой, а ось г направим вертикально вверх. Так как заданная сила является весом, то для рассматриваемого случая Ar = O, K = O, Z =— mg и касательная составляющая Ff силы равна —mS^- Эта составляющая должна иметь вид —k2s. Следовательно, обозначая через K1 положительную постоянную, имеем
без добавления постоянной, так как г обращается в нуль одновременно с s. Это уравнение характеризует циклоиду с горизонтальным основанием и с вершиной в начале.
2°. Два закона сил. Мы видели, что таутохронная кривая определяется с точностью до постоянных, когда требуют, чтобы таутохронизм имел место отдельно для двух различных законов сил при одной и той же точке таутохронизма для обоих законов.
Найдем, например, кривую, которая является таутохроной: 1) для силы тяжести и 2) для силы притяжения, имеющей постоянную интенсивность /и исходящей от вертикальной оси. Примем эту ось за ось Oz, с чи- ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ 393
тая ее направленной вверх. Мы можем всегда выбрать начало и ось Ox таким образом, чтобы точка таутохронизма лежала на оси Ox на расстоянии а от начала.
TaK как в рассматриваемом случае первая сила имеет силовую функцию — gz, а вторая — силовую функцию —fr, где г — расстояние от движущейся точки до оси Oz, то имеем два условия таутохронизма:
