Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
dy dz дх' ду' dz'
-щ, -щ полученными выше значениями -—г, -щг> ~dqr> а ПР0ИЗ"
d (dx \ d j dy \ d (dz \ dx' dy' dz'
водные —TTI -3— і, -37 -г-), -j7 — их значениями -з—, —f- , —, dt \ dq j dt V dq )' dt \ Oq j dq ' dq oq
будем иметь:
или, обозначая через T кинетическую энергию точки,
r = !*^ + /' + *'2).
окончательно получим
d(dT\ dT_
Это и есть уравнение движения по Лагранжу. После замены х', у', z' их значениями по формуле (3) и ей аналогичными, величина T станет функцией от q, q' и t, причем второй степени относительно q'.
26 Зак. 851. П. Аппель, г. 1 3.402
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Как только эта функция будет вычислена, можно будет сразу составить уравнение (4).
Написанное выше значение Q можно определить следующим образом. Представим себе, что движущейся точке сообщено возможное перемещение, которое получится, если кривую С сделать неподвижной в занимаемом ею в момент t положении и переместить точку по этой кривой. Или аналитически представим себе, что точке сообщено перемещение, которое получится, если t считать постоянным, а параметр <7 увеличить на bq. Тогда будет
л дх ^ ду
Zx = -^oq, Oy =
8q, Sz:
dz_ dq
bq.
Для этого возможного перемещения работа заданной силы X, Y, Z равна
ХЬ x+Yly + Zbz--
dq
dq
Следовательно, величина Q является коэффициентом при bq в выражении возможной работы.
Если существует силовая функция U (х, у, z), или же, вообще, если X, Y, Z будут частными производными по х, у, z какой-то функции U (х, у, г, t), содержащей время, то будет также
Q =
дЦ dq
где последняя производная вычислена в предположении, что в функции U (х, у, z, t) координаты заменены их вы-
---------------ражениями через q и t. Действительно, так как
¦J? U зависит от q через х, у, г, то, очевидно, имеем
дЦ dq
дЦ дх дх dq
дЦ ду dU dz _ ду dq dz dq
Рис. 162.
= хдх д
dq 1 dq 1 dq
26Э. Задача. Материальная точка скользит без трения по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости хОу и вращающейся с постоянной угловой скоростью ю вокруг одной из своих точек О, которая закреплена неподвижно. Исследовать движение точки, предполагая, что на нее не действует никакая непосредственно приложенная сила.
Пусть А — точка окружности, диаметрально противоположная неподвижной точке; угол хОА изменяется пропорционально времени. Отсчитывая t от того момента, когда это»1 угол равен нулю, найдем (рис. 162):
хОА = at. ГЛАВА ХП. ДВИЖЕНИЕ точки ПО КРИВОЙ 403
Пусть С — центр окружности, a M — движущаяся точка. Мы будем определять положение точки M на окружности углом ACM = 6, который будет играть роль параметра q. Проектируя контур OCM на оси, получим z = 0 и
x=R cos at + R cos (6 at), у = R sin at 4- R sin (6 4- at). Обозначая через x', у', 0' производные от х, у, 6 no t, имеем: JC' = — Ra sin at — R (0' 4- со) sin (6 4- at), у' = Ra COS at 4- R (6' 4- со) cos (6 4- at), ff, Di
T = К 4- (0' 4- со)2 4- 2а (6' 4- со) cos 6], = тР? (6' 4- со 4- .о cos 0), = — mR2 ю (6' + ю) sln 6-
Так как заданных сил нет, то
Q = O.
Следовательно, уравнение (4) после всех приведений будет иметь вид d4
dP .....
Сравнивая это уравнение с уравнением движения математического маятника
g
dP I
sin 0
мы видим, что относительное движение точки M для наблюдателя, который движется вместе с окружностью, будет движением математического маятника, причем точка А будет играть для него роль наиболее низкой точки. Продолжительность двойного бесконечно малого размаха, равная 2nYljg, будет здесь 2гс/со; она в точности равна продолжительности одного оборота окружности. Продолжительность конечных колебаний будет больше.
Для вычисления нормальной реакции N будем исходить из общих уравнений движения, которые в данном случае имеют вид
т-^ = —Neos (0 +at), т-^ = -N sin(Q +at),
так как точка находится под действием только силы N. Из этих уравнений находим
N = ~m ["§" cos С + c^ + "8"sin <Є + '
что можно написать так
N = - т [-g- cos (В 4- »0 4- sin (0 4- «,*)] +
4- т(0' 4- [ - 4f sin(0 + »0 + $ cos (0 + сі)].
„ , dx dy
Заменяя в этой формуле и их значениями, получим
N= mR [со2 tos u 4- (0' 4- ш)2].
26* 3.404
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Это выражение зависит от в'. Реакция, следовательно, не будет одинаковой при прохождении движущейся точки через одну и ту же точку окружности в одну или другую сторону, так как знак 8' не будет одинаковым в обоих случаях.
Если движущаяся точка отталкивается от центра О силой, пропорциональной расстоянию OM = г, то эта сила, равная fmr, будет иметь силовую
функцию U = . которая, будучи выражена через 8, примет вид
U = 2fm№ COS2-A.
Тогда
Q = = — fmR? sin 8
и уравнение движения сохранит вид уравнения движения математического маятника, для которого g? будет равно (сд2 /).
261. Случай неподвижной кривой. Само собой понятно, что изложенный метод, будучи общим, применим и к движению точки по неподвижной кривой. При этом обычно можно выбрать параметр q таким образом, чтобы X, у, г, выраженные в функции q, не содержали явно t:
