Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
время больше, чем V2gBBv где BB1 — расстояние от точки В до плоскости П, и точка обязательно придет в положение В за конечный промежуток времени. Если касательная в Л не горизонтальна, то движущаяся точка достигнет этого положения. Действительно,
V2 = 2gPM.
откуда ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
377
Будем отсчитывать дуги от положения M0, а время от начального момента. Так как s должно возрастать вместе с t, то в написанном уравнении нужно взять знак плюс, и мы получим
VTgt= f-^-dz.
J у а — г •/ у а — г
Z) Z ;
Если касательная в точке А не горизонтальна, то будет оставаться
конечным при Z = а и подынтегральное выражение будет обращаться в бесконечность порядка 1I2. Следовательно, этот интеграл остается конечным, когда z стремится к а. Время Т, нужное для достижения точки А, будет тогда определяться формулой
V^gT=J
ds
VT-
После достижения положения А движущаяся точка будет возвращаться к M0, куда она придет со скоростью V0 и дальше будет двигаться по дуге M0A' аналогичным образом в течение времени Tv если касательная в точке А' не горизонтальна. Движение будет, следовательно, колебанием между точками А и А', и продолжительность каждого простого колебания будет Т-\-Т'.
Можно указать два предела, между которыми должно заключаться Г; эти два предела будут тем ближе друг к другу, чем меньше дуга M0A. Если положить
dz^_
ds ~
то, как известно, будет
d*z _ d-i _ Y
ds3 ds p '
где p — радиус кривизны и у' — косинус угла, который образует этот радиус кривизны с осью Oz\ этот косинус положителен, так как угол острый. Пусть k и К—пределы для т'/р на рассматриваемой дуге; тогда между точками M0 и А будет
откуда, интегрируя, заключаем, что
так как эта функция, обращающаяся в нуль при S = 0, согласно предыдущему неравенству, монотонно убывает. Вследствие этого моно-
ZУ
тонно убывающей будет и первообразная функция z--75-s2. Написав, 3.378
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
что она больше своего конечного значения, получим YaК Yp-^p'
где I — длина дуги M0A. Заменяя в выражении для T величину i/Va— Z правой частью этого неравенства, получим
о '
сРг
Точно так же, исходя из неравенства — найдем
Если уменьшать начальную скорость таким образом, чтобы плоскость П приближалась к точке M0, то обе величины Knk будут одновременно стремиться к одному и тому же пределу, а именно, к значению Yl? в наинизшей точке, которое мы отметим индексом нуль. Поэтому, когда колебание будет иметь бесконечно малую амплитуду, продолжительность одного простого полуразмаха будет равна
— 1 / -^7-, а продолжительность простого размаха будет равна
2 V glo
тг л/ -^7-, если для части M0Ar траектории величина -f'/P имеет
V Sl о
тот же предел, что и-для части M0A. В частности, если .траектория является окружностью радиуса R в вертикальной плоскости, то получится известное выражение для продолжительности бесконечно
малого размаха т VRlg-
Вернемся теперь к колебаниям конечной амплитуды и рассмотрим случай, когда касательная в точке А горизонтальна. Вспомним формулу, определяющую время:
Z ds
У2gt= f -?=dz.
J у a — z
Когда z стремится к а, тогда 5 стремится к длине I дуги M0A, а стоящие под знаком интеграла выражения І/Vа — 2 и неограниченно возрастают. Приняв s за независимую переменную, получим
О ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
379
Пусть X— порядок малости величины а — г относительно s — I вблизи s = l. Тогда подынтегральное выражение будет обращаться в бесконечность порядка X/2 относительно . Если Х/2 1, то интеграл,
определяющий t, будет неограниченно возрастать; если, напротив, Х/2 < 1, то интеграл останется конечным. Первый случай представится для обыкновенной точки, для которой X = 2; в этом можно убедиться, рассматривая z как функцию от s и разлагая ее по формуле Тэйлора
вблизи s = l и замечая, что обращается, по предположению,
в нуль при S = I- Второй случай может представиться для точки возврата, для которой в общем случае X = 3I2. Если, следовательно, А является обыкновенной точкой с горизонтальной касательной, то движущаяся точка будет неограниченно приближаться к этому положению, никогда его не достигая. Если А является точкой возврата, то движущаяся точка может достигнуть точки возврата А со скоростью, равной нулю, после чего она остановится в этом положении равновесия. Такой пример мы найдем в упражнении 5.
247. Нормальная реакция. Есте- ^ ственные уравнения. Если применить естественные уравнения движения (п. 209), то получатся: во-первых, одно уравнение, определяющее движение, и, во-вторых, два уравнения, определяющие нормальную реакцию.
Проведем в точке M касательную MT в сторону возрастания дуг. Пусть MC = р — радиус главной кривизны (рис. 156); проведем бинормаль MB. Так как единственными силами, действующими на точку M, будут сила F и нормальная реакция N, то естественные уравнения движения для рассматриваемого случая будут:
с- dv
Ft = m4T> (D
Fn +Nn = т^, (2)
Fb +Nb = Q. (3)
Первое из этих уравнений, являющееся не чем иным, как уравнением кинетической энергии в другой форме, определяет движение по кривой, так как оно не содержит реакции; два других определяют составляющие Nn и Nb реакции. Вычисление упрощается, если имеется силовая функция U. В этом случае уравнение кинетической энергии имеет вид
