Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
* = cP ІЯ). У = ф (?)> 2 = W (q);
тогда
(«p'+^+a/V'.
т. е. T будет однородной функцией второго порядка относительно q'~ Уравнение Лагранжа
АА = п
dt V dq' J dq w
должно совпадать с уравнением кинетической энергии, так как при неподвижной кривой применение теоремы кинетической энергии приводит к единственному уравнению движения. Это легко проверить. В самом деле, умножая уравнение Лагранжа на q', получим
, d / дТ \ , дТ п ,
или
d / , дТ \ dq' дТ , дТ _ ,
Но вследствие однородности функции T произведение q' AA равно 2T и более того, так как T зависит от t только через q и q', тоГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
405
Поэтому уравнение принимает вид
или
CiT = Qdqt
что действительно является уравнением кинетической энергии.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Материальная точка, вынужденная двигаться по окружности, притягивается или отталкивается одной из точек этой окружности. Найти, каким должен быть закон силы, чтобы реакция была постоянной.
2. Две материальные точки А и В с одинаковыми массами, вынужденные скользить без трения одна по оси Ox, а другая по оси Oy, притягиваются друг к другу с произвольной силой, являющейся функцией /(/") их взаимного расстояния г. Они начинают движение без начальной скорости. Доказать, что они одновременно достигнут начала координат [лиценциатская *), Бордо].
3. Определить такую кривую, чтобы тяжелая точка, скользящая по этой кривой без трения, приобретала в каждый момент скорость, вертикальная составляющая которой имеет постоянное значение (лиценциатская, Париж).
4. Материальная точка массы т прикреплена к концу невесомой нити, навернутой на плоскую кривую С; точка отталкивается центром кривизны кривой С, соответствующим той ее точке, в которой нить отделяется от этой кривой. Сила отталкивания есть функция расстояния от движущейся точки до центра кривизны.
1°. Составить общие уравнения, определяющие закон движения и натяжение нити.
2°. В случае, когда отталкивающая сила пропорциональна расстоянию, а точка вначале лежит на кривой С и не имеет начальной скорости, обратить внимание на вид закона движения и выражения натяжения нити.
3°. Допустив, наконец, что отталкивание обратно пропорционально квадрату расстояния, определить кривую, для которой предыдущий закон (2°) сохраняет силу (лиценциатская, Пуатье).
5. В вертикальной плоскости рассматривается кривая, являющаяся огибающей отрезка прямой постоянной длины, один конец которого скользит по горизонтальной прямой Ох, а другой — по вертикальной прямой Oz. Исследовать движение тяжелой точки, скользящей без трения по этой кривой. В частности, найти время, затрачиваемое движущейся точкой для достижения точки возврата на оси Ох, если она начала двигаться из наиболее низкой точки с такой начальной скоростью, что постоянная кинетической энергии равна нулю (и3 = 2gz).
6. Найти такую кривую, лежащую в вертикальной плоскости, что если по ней заставить двигаться материальную точку, то реакция этой кривой должна находиться в постоянном отношении k к нормальной составляющей силы тяжести (k = 1 — прямая, к = 2.— циклоида, ...).
7. Тяжелая точка начинает двигаться без начальной скорости по внешней части параболы, лежащей в вертикальной плоскости и имеющей горизонтальную ось. Найти точку, в которой движущаяся точка покидает параболу (точку срыва).
*) То есть задача, предложенная на экзаменах на степень лиценциата. (Прим. перев.)3.406 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Если через h обозначить высоту начального положения над осью, то ордината у искомой точки будет положительным корнем уравнения
у3 + Зргу — 2p-h = О (р — параметр).
8. Если два маятника с грузами M1 и M2, находящимися на одной и той же окружности С, выходят в разные моменты из одного и того же начального положения с одинаковыми скоростями, то прямая M1Mi, соединяющая грузы, огибает окружность С'. Допустим, что маятники совершают круговое движение, и обозначим через T продолжительность обращения каждого из маятников, а через т — промежуток времени, отделяющий начала их движений. Если т соизмеримо с Т, то прямые, соединяющие положения маятников в моменты t, t -с, t + 2т, t + Зт, ..образуют многоугольник, вписанный в С и описанный около С'. (Это упражнение является не чем иным, как применением метода Якоби для вывода теоремы Понселе; см. Аль фен, Traite des fonctions elliptiques.)
9. Рассмотрим неподвижные прямые, проходящие через точку А, и допустим, что в момент <0 из А по всем этим прямым начинают двигаться без начальной скорости одинаковые точки, притягиваемые неподвижным центром О пропорционально расстоянию. Доказать, что все эти точки одновременно приходят в положения, совпадающие с проекциями точки О на пробегаемые ими прямые.
• 10. Материальная точка остается на кривой, определяемой уравнением вида
S3 = ч (*)•
где г—ордината, s — дуга, отсчитываемая от некоторой точки кривой, a tp — произвольная функция.
Требуется исследовать движение этой точки, предполагая:
1) что она находится под действием силы, параллельной оси г и определяемой равенством