Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
mv2 II \ U
Tr- = U-4-А 3.380
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
и, внося это значение V2 в уравнение (2), можно будет определить реакцию, не зная движения.
Уравнение (1), написанное в виде
„ dv ds dv 1 d (mv0)
rt = m-r--ir = mv~ = Ti- —v-j—-, 1 ds dt ds 2 ds
действительно идентично с уравнением кинетической энергии. Оно показывает, что движение не изменится, если деформировать кривую, не изменяя ее длины, и изменять при этом силу таким образом, чтобы не изменялась ее касательная составляющая. Эта операция отразится только на нормальной реакции. В частности, таким путем можно, не изменяя движения, преобразовать кривую линию в прямую и свести задачу к вопросу прямолинейного движения.
Дополнение. В качестве дополнения к сказанному выше, докажем следующую теорему:
Пусть свободная точка, начинающая двигаться из положения Mn, с пос.іе-
/ /7 „
довательными начальными скоростями v0, v0, ..., под действием сил, соответственно равных F', F", ..., описывает одну и ту же траекторию С. Допустим теперь, что эта точка начинает движение по неподвижной кривой, имеющей форму траектории С, и что при этом на точку одновременно действуют силы a'F', aF", ..., где а', а", ... — постоянные; тогда в этом движении нормальная реакция кривой будет направлена по главной нормали и будет обратно пропорциональна радиусу кривизны.
Пусть v', %/',...— скорости, которыми последовательно обладает точка в серии свободных движений. Естественные уравнения какого-нибудь из этих движений, например первого, будут
р' dv' 'dv' Р' v'2 P о I
При несвободном движении в уравнения войдут нормальные реакции неподвижной кривой, и уравнения движения примут вид
dv ' р' I " р" I
mv ~di = " * + " * + ¦ • -
mv2 / / нсн
— = Nn + a Fn + a Fn+ .... 0=^ + «'^ + «"^+ ...
Отсюда, на основании уравнений (1) получим сначала JVij = O, а затем
dv ,,d^l „ .. dv" ,
V—r- = a'V —;--Ь a"v" --Ь ¦ ¦ ¦
ds ds 1 ds 1
и, интегрируя, найдем
Ф = с + a'V'2 + a"v"2 + ..., где постоянная с имеет значение
'< / '2 // ,Л v0 — a vo — a v0 — ... ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
381
Наконец,
mv' .. , . mv
—- = jVn + « ——
P P
jV = — — g< V
P
Это равенство совместно с равенством jVj = 0 и доказывает теорему, которую мы имели в виду.
Начальными скоростями можно распорядиться таким образом,чтобы постоянная с была равна нулю. В этом случае реакция будет все время равняться нулю и точка свободно опишет заданную кривую. Этот последний результат установил Бонне.
Например, материальная точка может свободно описывать один и тот же эллипс под действием пяти следующих сил: притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояния со стороны каждого из фокусов, притяжения, пропорционального расстоянию со стороны центра и, наконец, притяжений со стороны осей, обратно пропорциональных кубу расстояний. Если, следовательно, заставить точку описывать эллипс под одновременным действием всех этих пяти сил при произвольных начальных условиях, то давление на эллипс будет обратно пропорционально радиусу кривизны.
248. Математический маятник. Математический маятник состоит из тяжелой материальной точки, движущейся без трения по'окружности, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 157).
Возьмем оси, указанные на чертеже, и допустим, что точка приведена в движение из самого низкого положения M0 (г0 = — /) с начальной скоростью V0. По теореме кинетической энергии имеем
V20
* = 2 g(a-z),
Рис. 157.
Г. Допустим сначала, что прямая П (z = а) пересекает окружность в двух точках А и А', т. е. что а < I, или i»0 < 2 Ylg- Тогда, как мы видели, движение будет изохронным колебанием между точками А и А'. Для исследования движения примем в качестве переменной угол ./Vf0OiVf = 6. Имеем:
г = —I cos 6, а = — I cos а,
где а — угол наибольшего отклонения M0OA.
В этой переменной выражение скорости будет
ds , dO
и уравнение кинетической энергии примет вид
Уравнение можно переписать так: ' d6 Y
P = 2 gl (cos G — cos a).
іисать так: 3.382
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
откуда
' M
Vl*- Г
2V
sins 2"—Sln2 J
Мы чзяли знак плюс, предположив, что точка поднимается. Отсчитывая время от момента, когда точка выходит из M0, получим
rfT
V sin2J-
sin2Y
Полагая
получим далее
sin -g- = u sin ~2" >
и = sn <
т. е.
лГ^ = [— da (k2 = Sln2
r i j \г(\ — и2)(1—?2и3) \ 2)
Следовательно, задача свелась к эллиптическому интегралу, и только что написанное уравнение может быть заменено следующим *):
VV)-
cosI=]/1-ki^it V -f)=dn і* V т)-
Таким образом, координаты / sin 0 и I cos 6 движущейся точки выражены как однозначные функции времени.
Для нахождения времени Т, затрачиваемого точкой для перехода из M0 в А, надо изменять U от 0 до а, и, следовательно, и от 0 до 1. Полагая, как обычно,
і
О а
sin 2" = sin sn U
K =
о
Г_du_
J /(I-U2)(I-^uS) '
получим для T значение KVljg и продолжительность простого колебания будет 2KVljg- Если эту величину добавить к t, то точка займет положение M', симметричное с М, и sin 6 изменит свой знак, что является проверкой известной формулы
