Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Если взять брахистохроны, нормальные к поверхности S и по каждой из них в момент t = 0 пустить при указанных начальных условиях одинаковые материальные точки, то в любой момент времени t все эти точки будут находиться на поверхности S', также нормальной к брахистохронам. (Эта теорема была указана уже Эйлером.)
Например, если взять все циклоиды, имеющие в точке А точку возврата и вертикальную касательную Az, и по каждой из них в момент ^ = O пустить из А без начальной скорости тяжелую точку, то в момент t все эти точки будут находиться на поверхности S', нормальной ко всем циклоидам. В данном примере поверхность S сводится к точке А; поверхность S' будет, очевидно, поверхностью вращения вокруг Az.
Мы предлагаем в качестве упражнения проверить это утверждение. ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ точки по кривой
399
З". Наконец, формула Тэта и Томсона позволяет высказать для брахистохрон теоремы, аналогичные свойствам разверток, если заменить в классических формулировках длины дуг промежутками времени, которые затрачивает для их описания точка, скользящая по ним без трения. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе, который мы предлагаем в качестве упражнения.
257. Брахистохроны на заданной поверхности. Требуется среди кривых, лежащих на заданной поверхности fix, у, 2) = 0 и соединяющих две точки А и В, найти такую, которая обращает интеграл
(-В)
Г ds
d vm+v
в минимум. Эта задача получится такая же, как и рассмотренная
в п. 149, если подставить ср (х, у, z) вместо л * —. Она при-
т Y2(U+h)
водится к нахождению равновесия нити на заданной поверхности.
II. Движение материальной точки на изменяемой кривой
258. Уравнения движения. Рассмотрим точку, скользящую без трения по кривой, положение и форма которой изменяются с течением времени. В неподвижных осях уравнения этой кривой будут
f(x, у, Z, 0 = 0. Л(*. у, Z, 0=0.
Нормальная реакция N кривой имеет проекции
W
и точку можно рассматривать как свободную, но находящуюся под действием равнодействующей F заданных сил и реакции N. Тогда уравнения движения будут:
т. d°-x dt з + X1 dfx дх '
т. df- + X1 dfx ду >
т. d-z dt* + X1 dfx dz '
Эти три уравнения совместно с уравнениями кривой определяют X, у, г, т. е. движение точки, и X, X1, т. е. реакцию, в функции времени. Следует заметить, что реакция не исчезает в уравнении кинетической энергии. В этом можно убедиться аналитически, умножая уравнения (1) соответственно на dx, dy, dz и складывая. В полученном равенстве коэффициенты при X и X1 не будут равны нулю. В самом деле, когда t увеличивается на dt, тогда х, у, z увеличи- 3.400
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
ваются на dx, dy, dz и так как функция f(x, у, г, t) должна оставаться равной нулю, то
+ = о.
Следовательно, коэффициент при X обращается в — dt. Точно
так же коэффициент при X1 обращается в —dt.
Этот результат ясен и геометрически, так как действительное перемещение точки происходит не по касательной к движущейся кривой и работа реакции не равна нулю. Для исключения реакции пользуются методом, рассматриваемым ниже.
259. Уравнения Лагранжа. Пусть q — параметр, определяющий положение точки на кривой С. К моменту t координаты какой-нибудь точки кривой и, в частности, движущейся точки будут
* = t), У= НЯ> 0. z = u>(q, t).
Движение точки будет известно, если будет известно, как изменяется q с течением времени.
Умножим уравнения движения (1) соответственно на , -щ-, Щ
и сложим. Коэффициенты при X и X1 обратятся в нуль, так как они будут отличаться множителем от косинусов углов, образуемых касательной к кривой С с нормалями к каждой из поверхностей /—О, /,==0. Тогда останется
т \ dt2 dq T dq "I" dt2 dq) — 4'
где положено
dq 1 dq 1 dq
Это и есть уравнение движения, определяющее значение параметра q, служащего для фиксирования положения точки на кривой в функции времени. Чтобы придать этому уравнению более удобную форму, мы применим к нему важное преобразование, введенное Лаг-ранжем, с которым мы снова встретимся в самой общей задаче динамики голономных систем.
Обозначим через q' производную параметра q по времени и через х', у', г' проекции скорости точки на оси координат. Согласно формуле x = <f(q, t), абсцисса движущейся точки зависит от времени и непосредственно, и через параметр q, потому что последний в свою очередь является функцией от t. Имеем ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
401
Рассматривая х' как функцию трех переменных q, q', t, имеем очевидные равенства
дх'_ дх дх' _ д^х , д"-х
Iqr-~dq' ~dq~~ ~dq^ q + dqdt ' Последняя формула показывает, что
дх' _ d / дх \
dq ~~ dt\ dq )' дх .
В самом деле, зависит от t и непосредственно и через q\ поэтому
d 1дх\_ д*-х j?x
dt\dq) dq2 q + dq dt'
Для у и z получаются аналогичные формулы:
ду' _ dy ду' _ d / dy \
(W-Iq' ~~oq~~~dt\dq)'
dz' _ д? dz' _ d (dz \
dq' ~ dq' dq ~ dt [dq )'
Установив это, мы можем уравнение (2) написать следующим образом:
iN
(Px dx' 0 dx
так как равно ... Заменяя в последнем уравнении
