Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 159

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 205 >> Следующая


k-'s* , ti2s2 — ge =--2—• —tr =--2--fa,

так как при s = 0 должно быть z = 0 и г = а.

Эти уравнения можно представить в более простом виде:

S2 S2

г=_. r-a = ^, (1)

где b и с — положительные постоянные.

Исключение s2 показывает, что кривая должна лежать на поверхности

r = a+jz, (2)

являющейся круговым конусом с осью Oz. Чтобы закончить определение кривой, введем цилиндрические координаты Г, 6 и Z. Элемент ds2 дается равенством

ds2 = dr2 + г9- dV>- + dz\ (3)

Выразим s и Z в функции г при помощи предыдущих формул. Из уравнения (2) и из второго уравнения (1) имеем

г = — a), S =Y2с (г — а).

Подставляя в равенство (3) и сокращая, получим уравнение горизонтальной проекции

Y^if Y'-^-Л-

где а — положительная постоянная, большая чем а. Так как кривая выходит из точки таутохронизма г = а, 6=0, то нижний предел интегрирования принят равным а.

Горизонтальная проекция кривой заключена между двумя окружностями г = а и г = а. Она касается первой из них и нормальна ко второй, на которой она имеет точки возврата. Интегрирование при помощи очевидной подстановки

а — г ,

-= U2

г — а

приводится к интегралу от рациональной функции.

254. Брахистохрона для силы тяжести. Найдем сначала брахистохрону для силы тяжести. Даны две точки А и В, из которых более высокой является точка А. Найдем, при помощи какой кривой С нужно соединить эти две точки для того, чтобы тяжелая материальная точка, пущенная из точки А без начальной 3.394

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ

скорости, скользя по этой кривой, достигла точки В за наиболее короткий промежуток времени.

Эта кривая является брахистохроной для силы тяжести или кривой наиболее быстрого ската (рис. 161).

Примем за начало точку А, за ось г— вертикаль Az, направленную вниз, за плоскость хг — вертикальную плоскость, содержащую обе точки А и В. Если тяжелая точка массы т скользит без трения по кривой С при начальной скорости в точке А, равной нулю,

то ее скорость в положении т определяется по закону кинетической энергии:

V2 = cIgZ. ds dt

Заменяя V через мент дуги, имеем

где ds — эле-

(B)

(f) Vw- / ¦

(А)

ds

Yz

где t— время, необходимое точке для прихода в В.

Для того чтобы это время было наименьшим, необходимо определить кривую С таким образом, чтобы обратить в минимум написанный выше интеграл, который можно представить в виде

(S)

J ср (jc, у, z)ds,

1 ..

где

'=—^=. Мы нашли ранее (глава VII, § III), что кривая, обра-V ?

щающая в минимум интеграл такого вида, является фигурой равновесия нити под действием силы с силовой функцией -Ip (я, у, z),

при этом натяжение нити равно ср (л;, у, z). Три дифференциальных уравнения, которые мы установили для этой кривой, приводятся, как мы видели, к двум.

Для задачи, которую мы сейчас рассматриваем, ср (jc, у, z) -

dtf

= 0,

dtp

YI

= 0;

и сила, действующая на нить, вертикальна, так как —-

поэтому фигура равновесия будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через обе заданные точки. Если эту плоскость принять за плоскость xz, то для нахождения кривой достаточно будет одного уравнения. Мы возьмем первое из общих уравнений



dtp Tc

ds= 0,

которое приводится к виду

d( 1 *?\ = 0. \Yz ds)

1 dx Yz ds

С, ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ

395

откуда

dx2 = с2 z ds2 = c2z (dx2 + dz2). Переменные разделяются и, полагая -А- = 2R, получим

dx = dz }/~27ГГ7-

Это — дифференциальное уравнение циклоиды, основанием которой является ось Ох. Легко найти уравнения кривой в обычной форме, полагая

z = R(\ — cos 6);

тогда

dx = 2R Sin2Arfe, * = *0-|-/? (0 —sin 0).

Так как циклоида должна проходить через точку А, то jc0 = О и А является точкой возврата (рис. 161). Для окончательного определения циклоиды С, проходящей через обе точки А и В, нужно построить какую-нибудь циклоиду С' с основанием Ax и точкой возврата А, соединить А и В прямой, пересекающей циклоиду С' в точке В' и произвести затем над циклоидой С' преобразование подобия, приняв за центр точку О и за отношение подобия отношение AB' к AB.

Мы предположили для упрощения, что начальная скорость, с которой точка выходит из положения А, равна нулю. Если мы хотим найти кривую наибыстрейшего ската из А в В, предполагая, что точка начинает двигаться из А по этой кривой с начальной скоростью V0, то достаточно будет заменить интеграл

Г ds

J Y г

интегралом

F-A=-J l/ V

Кривая будет по-прежнему циклоидой с горизонтальным основа-

V2n

нием, но это основание будет находиться на высоте z = —•

Оссиан Бонне непосредственно доказал, что циклоида действительно осуществляет наименьшее время ската.

255. Брахистохроны в общем случае. Рассмотрим точку, находящуюся под действием силы F, имеющей силовую функцию U (х, у, г). Найдем кривую С, которою нужно соединить две точки А и В для того, чтобы точка, двигающаяся по этой кривой и вышедшая из Л с заданной начальной скоростью v0, пришла в В за наиболее короткий промежуток времени (рис. 161). Эта кривая С является брахистохроной для заданного закона силы. Обозначая 3.396 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed