Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
сводится к тем же вычислениям, что и при нахождении максимума и минимума функции
U (Д)= f Qdq,
определенной с точностью до аддитивной постоянной. Мы хотим доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какого-нибудь значения q = a эта функция U действительно имеет максимум, то соответствующее положение равновесия устойчиво.
Мы можем для упрощения положить а = 0, так как это равносильно замене параметра q новым параметром q — а. Мы можем также предположить, что функция U (q) обращается в нуль в рассматриваемом положении равновесия при q = 0, так как это сводится к подходящему выбору произвольной постоянной, которую можно добавить к U, т. е. нужно принять
Q
U{q)= J Qdt.
о
Тогда при q = 0 функция U (q) будет иметь максимум, равный нулю; это значит, что если є — произвольная положительная постоянная, меньшая некоторой, наперед заданной величины, то при всех значениях q, отличных от нуля и удовлетворяющих единственному условию
— є<<7<є, (1)
функция U(q) будет отрицательной.
Считая, что число є выбрано сколь угодно малым, сместим точку из положения равновесия в некоторое начальное положение, соответствующее значению q0 параметра q, заключенному между — є и —(— є, и сообщим ей начальную скорость V0. Докажем, что можно найти два, таких положительных числа а и ?, что при выполнении только двух условий
г»0 < а, — ?<<70<?,
точка в своем последующем движении не выйдет за крайние положения, соответствующие значениям ± є параметра q, и даже не достигнет этих положений. В самом деле, так как величины U (є) и U (—є) отрицательны и не равны нулю, то можно найти положительное число р, которое будет одновременно меньше, чем—U (є) и меньше, чем — U (—є), так что сумма U (q)-\-p, будучи положительной при q = 0, станет отрицательной при q= + є. При движении точки, согласно теореме кинетической энергии, будет ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО КРИВОЙ
375
Определим V0 и q0 из условий
avO . P 2 2
¦U{q0)<
Из первого неравенства получаем для V0 верхний предел а, равный У~р/т ; второе неравенство в силу непрерывности функции U (q), обращающейся в нуль при q = 0, требует, чтобы q0 было по абсолютному значению меньше некоторого положительного предела ?. Тогда, если эти начальные условия выполнены, получим
< U(g) +р.
Отсюда видно, что q не может достигнуть пределов ± є, так как, если q достигнет какого-нибудь из этих пределов, то кинетическая энергия mv2!2. являющаяся существенно положительной величиной, должна оставаться меньше правой части, которая при q= ±є становится отрицательной, что является абсурдом. Следовательно, равновесие действительно устойчиво.
Примечание. Когда сила зависит от скорости, величина Q
зависит по-прежнему от q и еще от Для нахождения положений равновесия нужно найти значения q, обращающие в нуль Q при условии, что ^ = 0. Если какое-нибудь положение равновесия будет найдено, то для того, чтобы узнать, устойчиво оно или неустойчиво, нужно будет исследовать движение точки, предположив, что она бесконечно мало смещена из этого положения равновесия и что ей сообщена бесконечно малая скорость. Примером того, как это нужно делать, служит теория математического маятника, подверженного действию сопротивления среды, пропорционального скорости. В дальнейшем мы дадим систематическое изложение иссле- О дования малых движений около положения устойчивого равновесия.
246. Движение тяжелой точки по неподвижной кривой.
Возьмем три прямоугольные оси, причем ось Oz направим вертикальне» верх. Проекции силы равны (рис. 155)
X=O, K = O, Z = — mg.
элементарная работа силы тяжести есть
¦ mg dz.
и уравнение 3.376
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
кинетической энергии будет
ui T
— gz + h.
что можно написать в виде
V1 = 2g(a — z),
где обозначено
А g
—- а.
Рассмотрим плоскость II, уравнение которой Z = а. Расстояние MP от движущейся точки до этой плоскости равно а—z, так что скорость определяется формулой
Отсюда видно, что численное значение скорости будет такое, как при падении точки по вертикали из P в M без начальной скорости.
Допустим, что рассматриваемая кривая замкнута. Могут представиться два случая в зависимости от того, будет ли плоскость П пересекать эту кривую или нет. Каково бы ни было начальное положение AI0 точки, ей всегда можно сообщить такую достаточно большую начальную скорость V0, чтобы плоскость П была расположена сколь угодно высоко, так как
Допустим, что V0 настолько велико, что плоскость П находится над кривой. Тогда скорость никогда не обратится в нуль и движущаяся точка будет бесконечное число раз оборачиваться по своей траектории. Движение будет периодическим, наибольшая скорость будет в наинизшей точке, а наименьшая — в наивысшей.
Допустим теперь, что плоскость П пересекает кривую. Пусть А и А' — две последовательные точки пересечения. Допустим, что точка начинает движение из наинизшего положения AI0 дуги AMA' в сторону А. Легко видеть, что движущаяся точка подойдет к положению А сколь угодно близко; в самом деле, скорость между Al0 и В будет все
