Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Эти условия необходимы. В самом деле, пусть, как и в п. 112, A1, A2, ..., Ap — точки касания тела с плоскостью и R1, R2.....Rp — реакции плоскости в этих различных точках. Если представить себе ось Oz, направленную нормально к плоскости в сторону, где находится тело, то все эти реакции будут направлены в ту же сторону от плоскости и будут составлять с осью Oz углы меньше <р. Так как совокупность сил R1, R2.....Rp, F
находится в равновесии, то реакции R1, R2
Rp имеют равнодействую-
щую, которая, очевидно, равна и прямо противоположна силе F. Но главный вектор реакций направлен, очевидно, в ту же сторону от плоскости, что и ось Oz, и образует с ней угол, меньший следовательно, сила F направлена в противоположную сторону и тоже образует с осью Oz угол, меньший <р. Чтобы показать необходимость третьего условия, возьмем какую-нибудь сторону AiAjc опорного многоугольника; сумма моментов сил R1,
R2.....Rp и F относительно этой стороны должна равняться нулю; моменты
всех сил r1, r2..... rp относительно этой стороны имеют одинаковые
знаки; сила F должна иметь момент противоположного знака и должна поэтому пересекать плоскость в точке А, лежащей по отношению к AiAjc по ту же сторону, что и остальные точки опоры. Так как это имеет место для каждой из сторон опорного многоугольника, то точка А находится внутри этого многоугольника.
Эти необходимые условия и достаточны. В самом деле, если они выполнены, то можно всегда разложить силу F на одинаково с ней направленные параллельные силы, приложенные в точках опоры A1, A2. ..., Ap. Все эти
составляющие уравновешиваются сопротивлением плоскости.
193. Лестница. Лестница AB опирается на горизонтальный пол и вертикальную стену; допустим, что средняя линия лестницы лежит в плоскости, перпендикулярной полу и стене (рис. 125); эту плоскость мы примем за плоскость чертежа.
Обозначим через G центр тяжести лестницы и стоящего на ней в произвольном положении человека и найдем условия равновесия, предполагая, что коэффициенты трения в точках А и В равны одной и той же величине f и, следовательно, углы трения имеют одно и то же значение <р.
Если лестница образует со стеной угол ?, меньший угла трения <р, то будет иметь место равновесие при любом положении точки G. В самом деле, всегда можно перенести вес Р, приложенный в точке G, вдоль его направления и разложить на две силы, из которых одна направлена по DB нормально к стене, а другая по линии DA, образующей с нормалью AN к полу угол DAN, меньший ? и, следовательно, меньший угла трения; обе эти составляющие уравновешиваются.
Допустим теперь, что угол лестницы со стеной превышает угол трения <р. Так как вес и реакции стены и пола должны уравновешиваться, то эти три силы пересекаются в одной точке и лежат в плоскости чертежа. Проведем в точках AaB нормали AN и BN к стене и к полу и затем две прямые AKM и ALQ, образующие с AN угол <р, и две прямые BQ и BL, образующие с BN тоже угол <р. Эти четыре прямые, являющиеся прямыми пересечения плоскости чертежа с рассмотренными в общем случае конусами, образуют четырехугольник MQLK Так как реакции стены и пола образуют с нормалями углы, меньшие <р, то их точка пересечения находится внутри четырехугольника MQLK Так как линия действия силы Pf
Рис. 125. ГЛАВА IX. ПОНЯТИЕ O ТРЕНИИ
261
т. е. вертикаль, проведенная через точку G, должна проходить через упомянутую точку пересечения реакций стены и пола, то для того, чтобы было равновесие, необходимо, чтобы эта вертикаль пересекала площадь четырехугольника. Это условие будет тогда и достаточным, так как если вертикаль О пересекает этот четырехугольник, то, взяв точку D на этой вертикали внутри четырехугольника, мы можем перенести в нее вес P и здесь разложить его на две силы, направленные по DA и DB, которые уравновесятся реакциями стены и пола.
Примем OA и OB за оси Ox и Oy и обозначим через а и b расстояния OA и OB. Ближайшая к стене точка М, будучи пересечением двух
прямых / „_ -ч
BM (у — b = xf) и AM Iу = — " j,
имеет абсциссу
_ а~ bf Х- 1+.Я '
являющуюся положительной величиной, так как, по предположению, ajb больше чем /, ибо угол ? больше <р. Для равновесия .необходимо и достаточно, чтобы абсцисса S центра тяжести G была больше х. Пусть т — масса лестницы Hml — масса человека, стоящего на лестнице на расстоянии X1 от стены. Тогда, чтобы выразить, что S больше х, напишем:
M- ,
т TT ~r mIxI и і
2 1 1 ' а — bf
т -)- т1
I+/2
откуда можно определить нижнюю границу для Jf1. Чтобы при любом положении человека равновесие было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы
а т2
>
a — bf
JrNds
m + mi I+/2
Эта формула определяет верхнюю границу угла р, тангенс которого равен ajb.
194. Веревка, навернутая на поперечное сечение цилиндра. Пусть веревка положена на поперечное сечение выпуклого цилиндра, по которому она может скользить с трением. Коэффициент трения равен /. Касание происходит по дуге AB (рис. 126); веревка натягивается на концах M0 и Af1 натяжениями T0 и T1, причем T1^Tq. Найдем условия равновесия, предполагая, что веревка находится в состоянии, когда она готова начать скользить в сторону AB. Этим самым мы найдем верхний предел, больше которого не должно быть натяжение T1, чтобы осуществлялось равновесие. Пусть s — дуга AM, ds— элемент, находящийся в точке Af1 Nds — абсолютное значение нормальной реакции цилиндра, которая направлена наружу, fN ds — абсолютное значение касательной реакции, которая направлена в сторону MA. На основании естественных уравнений равновесия нити имеем
