Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Наконец, если равнодействующая X, Y, Z зависит только от положения движущейся точки и имеет силовую функцию U (х, у, г), т. е
Xdx + Y dy-\-Zdz = dU(x, у, z),
то можно вычислить полную работу, зная только положения M0 и М. В этом случае теорема кинетической энергии приводит к первому интегралу. Действительно, выполняя интегрирование в правой части уравнения (2), получим
2 2 mv mv0
~2---2~ = U(x, у , г)— U (х0, у0, Z0),
или
= у, z) + h,
mvO
где h обозначает произвольную постоянную —---U (х0, у0, Z0); эта
постоянная называется постоянной кинетической энергии. Согласно этому уравнению скорость движущейся точки становится тою же самою, что и раньше, каждый раз, когда функция U принимает прежнее значение. Если U является однозначной функцией от х, у, Z, то можно говорить, что скорость движущейся точки принимает одинаковые значения, когда она возвращается на одну и ту же поверхность уровня U(x, у, г) = const. Когда функция U многозначна, как, например, U(x, у, 2) = arctg-^, то скорость не обязательно принимает одинаковые значения, когда точка возвращается на одну и ту же поверхность уровня, так как на определенной поверхности уровня функция U (х, у, z), а вследствие этого и полная работа принимают различные значения вдоль пути (см. п. 82).
20.6. Примеры. 1°. Рассмотрим движущуюся в пустоте совершенно свободную тяжелую точку. Если ось Oz направить вертикально вверх, то так как единственной силой, приложенной к точке, является вес, проекции кото-рогосуть ^ у = 0) z = _mgi 276 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
то по теореме кинетической энергии получаем уравнение
d = — mg dz,
правая часть которого является полным дифференциалом, что показывает, как это уже отмечалось много раз, что вес имеет силовую функцию. Интегрируя, получим
2 2
i^-tY =-g(z-Z0), v2 = 2 (-gz + h).
Это уравнение показывает, что скорость принимает одно и то же численное значение всякий раз, когда точка находится на одной и той же высоте, т. е. возвращается на ту же поверхность уровня.
Вообще, если точка находится под действием вертикальной силы, являющейся функцией ОТ Z, то
X=O, K=O, Z = <( (г),
откуда
rnu2 mv mv0 С
d = <р (г) dz, ---2~ = J ? (*)dz-
z0
Поверхностями уровня по-прежнему являются горизонтальные плоскости. Во всех этих движениях траектории являются плоскими кривыми (п. 202, пример).
2°. Рассмотрим точку М, притягиваемую неподвижным центром О по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Притягивающая сила имеет вид mpjr2, где (j. — постоянная, а г — расстояние ОМ. Алгебраическое значение этой силы, отсчитываемой в направлении ОМ, равно — от(а/л2
и, как мы видели в п. 84, элементарная работа этой силы равна — dr.
Следовательно, по теореме кинетической энергии имеем
тФ От(л ^2-Ug /1 1 \
d-T = --FTdr-
или
и2 = 2 (у + л).
Поверхностями уровня являются сферы Iljr= const; скорость принимает одинаковые численные значения на одинаковых расстояниях от притягивающего центра О.
Вообще, если точка M находится под действием центральной силы, являющейся функцией от г, и алгебраическое значение этой силы, отсчитываемое в направлении ОМ, есть <р (л), то
mv2 mv2 mvl /*
rf _ = <p(r)rfr, ~2---2~ = J<t(r)dr.
r0
3°. Рассмотрим тяжелую точку M, притягиваемую неподвижным центром А по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния и отталкиваемую неподвижным центром А' пропорционально расстоянию (рис. 131). Направим ось Oz вертикально вверх, так что элементарная работа веса равна — mg dz. Если мы обозначим через г расстояние AM, то алгебраическое значение притягивающей силы F, отсчитываемой в направ- ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 277"
лении AM, есть —/й(х/л2, а элементарная работа равна —dr. Наконец,.
если мы обозначим через г' расстояние MA', то алгебраическое значение отталкивающей силы F', пропорциональной расстоянию, есть пці'ґ, а ее элементарная работа равна m^'r'dr'. По теореме кинетической энергии
дифференциал d-^mv* равен элементарной работе равнодействующей приложенных к точке сил, т. е. сумме работ составляющих сил, и мы имеем
j MVi , ти , , ,
d—= - mg dz--dr + шц г dr .
Правая часть этого равенства является полным дифференциалом, так что существует силовая функция; в этом можно было убедиться и заранее, на основании теорем, установленных в главе IV. Следовательно, интегрируя и деля на т, получим
,2 = 2 (-gr+JL+Oif+k).
Силовая функция здесь по-прежнему однозначна и скорость принимает одинаковые значения каждый раз, когда движущаяся точка проходит через-одну и ту же поверхность уровня
, H , V-'r'2
— gz-\r — + —2~ = const •
Это — поверхности шестого порядка. Они приводятся к сферам, если jx равно-нулю, т. е. если отбрасывается притягивающий центр А.
207. Замечание к интегралу кинетической энергии. Интеграл кинетической энергии
^ = у, z) + h
показывает, что движущаяся точка не может выйти из области пространства, в которой величина U(x, у, z)-\-h положительна, так как левая часть равенства существенно положительна. Когда эта область не содержит всего пространства, она, вообще говоря, огра~ ничена поверхностью уровня, имеющей уравнение
