Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
20. Однородная тяжелая пластинка ABC DE, лежащая в вертикальной плоскости, имеет следующую форму: AB — горизонтальная прямая длины х, ВС—вертикаль длины b, CD — горизонталь длины с, меньшей чем х, DE—дуга неизвестной кривой Г, выходящей из точки D и поднимающейся над CD со стороны точки А; и, наконец, EA — вертикальная прямая. Пластинка может свободно вращаться вокруг точки O, предполагаемой 254
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
закрепленной, и находится под действием веса и горизонтальной силы F, приложенной в точке Е. Какой должна быть форма кривой Г, чтобы равновесие имело место при любом положении ограничивающей ординаты EA, т. е. каково бы ни было х (Ь и с рассматриваем как постоянные)? (Фурман).
Если взять горизонтальную и вертикальную оси с началом в точке D,
X1 ,
—+са
то уравнение этой кривой получится такое: у + 6 = be"
21. Найти такие кривые, чтобы однородная тяжелая цепь длины I, скользящая по ним без трения, была в равновесии в любом положении.
Ответ. Если взять вертикальную ось Oz и обозначить через /(s) периодическую функцию периода I, то необходимо и достаточно, чтобы координата г какой-нибудь точки кривой была связана с дугой s соотно-
2kns
шением z = f(s). Так, можно принять z = a sin—— , где k — целое число.
22. Дана направленная вверх вертикальная прямая OB и два невесомых стержня BD и ОС, связанных шарнирно в точке С, расположенной мвжду В и D. Стержень ОС вращается вокруг точки О, а конец В стержня BD скользит без трения по неподвижной прямой OB. К точке D подвешен груз. Найти положения равновесия. В каких случаях равновесие будет безразличным?
23. Шесть одинаковых однородных стержней веса р связаны шарнирно своими концами и образуют шестиугольник, лежащий в вертикальной плоскости. Сторона AB этого шестиугольника закреплена неподвижно в горизонтальном положении', остальные стороны расположены симметрично относительно вертикали, проходящей через середину AB.
Какую направленную вертикально вверх силу F нужно приложить к середине горизонтальной стороны, противоположной AB, чтобы система была в равновесии? (F = 3р).
24. Твердое тело с пятью степенями свободы. Положение свободного твердого тела в пространстве зависит от шести параметров (п. 183). Если между этими параметрами установить какое-нибудь соотношение, то тело будет иметь только пять степеней свободы и его положение будет зависеть от пяти параметров qv q2, ..., <75- Доказать, что если тело поместить теперь в какое-либо определенное положение, то все возможные перемещения, допускаемые наложенными на него связями, должны удовлетворять следующему геометрическому условию. Существует такая неподвижная прямая D, что проекция на нее скорости поступательного движения, сообщенной определенной точке тела, находится в постоянном соотношении с проекцией на ту же ось сообщенной телу мгновенной угловой скорости вращения. Нужно заметить, что координаты х0, у0, Zq определенной точки тела и девять направляющих косинусов осей Ох, Oy, Oz прямоугольного координатного триэдра, связанного С телом, относительно неподвижных осей O1Xv Уі, Z1 (п. 51) будут функциями пяти параметров Тогда, если сообщить этим параметрам произвольные вариации bqb bqs, ..,, bqh в течение промежутка времени bt, то проекции V0x, Vy, V® возможной скорости точки О на оси Oxyz и компоненты р, q, г возможной мгновенной угловой скорости вращения по тем
же осям будут линейными однородными функциями ОТ ..... 'bt''
Исключение этих пяти произвольных величин приведет к линейному однородному уравнению, связывающему величины V0, V0y, V0z, р, q, г, коэффициенты которого будут функциями от qb q2.....<75. Интерпретация этого уравнения даст высказанную теорему. (В п. 201 Treatise of natural Phylosophy Тэта и Томсона можно найти описание механизма, позволяющего осуществить такого рода связи.) ГЛАВА IX
ПОНЯТИЕ О ТРЕНИИ
188. Общие сведения. До сих пор мы рассматривали твердые тела как идеально твердые и идеально отполированные и допускали, что если два тела, находящиеся в покое или в движении, соприкасаются друг с другом в какой-нибудь точке и мог.ут скользить друг по другу, то их взаимодействие нормально к общей касательной плоскости в этой точке.
Это предположение противоречит опыту. Естественные тела не являются ни идеально твердыми, ни идеально гладкими. Когда два естественных тела 'находятся в соприкосновении, то никогда касание не происходит в одной точке; оба тела испытывают деформации, вообще говоря, очень малые, вследствие которых касание происходит по малой части поверхности. Эти деформации постоянны, когда тела находятся в равновесии, и становятся переменными, когда одно тело скользит по другому. Тогда они вызывают колебания молекул и поэтому развивается тепло или электричество, на возникновение которых затрачивается часть работы движущих сил.
Эти сложные явления становятся доступными для расчета, если предположить, что к нормальной реакции добавляются касательная сила и пары.
Вообразим два движущихся твердых р тела А и В (рис. 122), находящихся в соприкосновении. Пусть т — точка тела А, находящаяся в соприкосновении с телом В. Как мы видели в п. 57, относительные скорости различных точек тела А по отношению к телу В, рассматриваемому как неподвиж- Рис. 122.
