Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Например, возьмем какую-нибудь точку, лежащую на поверхности, которую она может покинуть в какую-либо сторону. Соответствующая реакция связи будет нормальной реакцией. Если точка приходит в движение под действием приложенных к ней сил, то могут представиться два случая: либо точка переместится по поверхности (неосвобождающее перемещение) и тогда работа реакции будет равна нулю, либо она покинет поверхность (освобождающее перемещение), но тогда реакция будет равна нулю, так как, по предположению, поверхность не удерживает точку и работа реакции будет по-прежнему равна нулю. Теперь возьмем две точки, связанные нитью. Если обе точки под действием приложенных к ним сил приходят в движение, то могут представиться два случая: или нить остается натянутой (равенство) и сумма работ натяжений равна нулю (п. 88), или точки сближаются (неравенство), но тогда нить не будет более натянутой, натяжения будут равны нулю и их работа по-прежнему будет равна нулю.
Резюмируя изложенное, можно сказать, что для действительного перемещения сумма работ реакций связей равна нулю,
Sl = 0,
и, следовательно, согласно неравенству (3) для действительного перемещения
Sd >
что и требовалось доказать.
Примечание. Таким образом, доказанное условие является и необходимым и достаточным. Его можно высказать более кратко: для равновесия необходимо и достаточно, чтсбы на всех перемещениях, допускаемых связями, было
Sn <0. (4)
Отсюда само собой будет вытекать, что для неосвобождающих перемещений
Sd = °-
Действительно, если для неосвобождающего перемещения получится §D < 0, то, так как противоположное перемещение будет также допускаться связями, для этого нового перемещения получится $в > 0, и, следовательно, условие (4) не будет более выполняться для всех допускаемых связями перемещений.
185. Аналитические выражения. Пусть на точки наложены связи, выражаемые равенствами и неравенствами такого вида, как (1) и (2). Если обозначить через Xw, Yw, Zw проекции равнодействующей заданных сил, приложенных к точке (xw, yw, zw), то для того, чтобы выразить, что имеет место ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
245.
(6)
равновесие, надо написать, что для всех перемещений, удовлетворяющих соотношениям (1) и (2), выполняется неравенство
2 (Xw Ьх, + K4 Sy4 + Z4 5г.,) < 0. (5)
Начнем с того, что приравняем нулю сумму в левой части соотношения для всех неосвобождающих перемещений, т. е. для всех перемещений, которые получатся, если приравнять нулю левые части равенств (1) и (2). Таким путем, при помощи методов п. 171 и 177, будут найдены положения равновесия.
После этого останется выбрать среди найденных положений те, при которых для каждого освобождающего перемещения сумма работ заданных сил равна нулю или отрицательна. Таким путем получатся все возможные положения равновесия, при которых все связи осуществлены.
Допустим, например, что использованы множители Лагранжа. Написав, что при всех неосвобождающих перемещениях сумма работ приложенных сил равна нулю, получим, как в п. 178, следующие необходимые условия равновесия:
^ + Мь + ••• +^+iAj+1,4 + K4+ X1Sb+ ... + Xff+1?ff+li4 + Z4 + X1Clv+ ... + \д + 1Сд+\, 4 +
где ч = 1, 2, ..., п.
Возьмем теперь какое-нибудь положение равновесия, определяемое этими уравнениями. Чтобы они были применимы, необходимо и достаточно, чтобы множители Xff+1, \д+2,..., Xh, соответствующие соотношениям (2), были отрицательны. Действительно, сообщим системе освобождающее перемещение 5j;4, 5у4, 5zw, удовлетворяющее соотношениям (1) и (2). Вычисляя сумму 2 (Xw bxw + K4Sy4 + Z.,bzw) при помощи уравнений (6), мы видим, что коэффициенты при X], X2.....\д равны нулю в силу соотношений (1) и остается
2 Wat4 + K4Sy4 + ZwIzw) = = — ^+J 1 SJCi4- і5Уі + Cff-MllS*!+ ...) —
— ^д+2(Ад + 2,1Ьх1+ ...) —
^й (-^ht SJT1 + ...). (7)
Эта сумма должна быть отрицательная при любых перемещениях, удовлетворяющих соотношениям (2), при которых коэффициенты перед множителями
Ml' М«'
+ Мь, = о,
+ XhBhw = о, + XhCh4 = O,
Xh либо отрицательны, либо
равны нулю.
186. Пример. Найдем положение равновесия тяжелой точки т, прикрепленной к неподвижной точке О при помощи невесомой и нерастяжимой нити длины I и лежащей на наружной поверхности неподвижного горизонтального цилиндра вращения.
Примем точку О за начало; вертикаль, направленную вниз, —за ось Oz; прямое сечение цилиндра—-за плоскость zOx\ ось Oy будет тогда горизонтальна.
Сечение цилиндра плоскостью zx будет окружностью радиуса R, которую мы предположим целиком расположенной внутри угла xOz
(рис. 121). Обозначим через а и с координаты центра С этой окружности. Обозначим далее через В наивысшую точку окружности и предположим, чтс длина I нити больше длины OB, но меньше длины касательной к окружности,
Рис. 121. 246 ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
проведенной из точки О, так что когда нить натянута, точка т будет лежать на цилиндре.
Предполагая, что обе связи осуществлены, получим
(лт — а? + (г — cf — R* = 0. /
Возможные перемещения, допускаемые первой связью, таковы, что они либо оставляют неизменным, либо уменьшают расстояние От, перемещения же, допускаемые второй связью, либо оставляют неизменным, либо уменьшают расстояние от точки т до оси цилиндра, так что
