Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
dT ^t п T
Рис. 126. 262
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
так как значение реакции, отсчитываемой по главной нормали, равно — Nds, а отсчитываемой по касательной Mt в сторону возрастания дуг равно — /Nds. Исключая N, получим
dT fds
т=т=/Л'
так как гДе а — Угол между касательной Mt и фиксированной
касательной T0M0. Следовательно, интегрируя от точки Af0 до точки Afl и обозначая через 0 угол между конечными касательными, или равный ему угол AOB между конечными нормалями, получим
In T1 — In Т0=/К T1 = 70/а.
Таково верхнее значение, больше которого не должна быть величина Tu чтобы осуществлялось равновесие. Если веревка обвивается несколько раз вокруг цилиндра, то угол 0 может быть больше чем 2те. Эта формула показывает, чтр малым натяжением T0 можно уравновесить значительное натяжение T1, полагая 0 достаточно большим. (Пуассон, Traite de Mecanique, § 303.)
Интересные упражнения можно найти в сочинении английского ученого Джеллета.
195. Трение скольжения при движении. В случае движения трение будет вполне определенным. Допустим, что движущееся твердое тело, ограниченное поверхностью S, соприкасается с телом Sr в точке А. Если имеется трение, то реакция тела S' на тело 5 распадается на две силы: нормальную N, которая называется нормальной реакцией, и касательную F, которая является силой трения и подчиняется трем следующим законам:
1°. Сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости материальной точки А по отношению к 5.
2°. Она не зависит от величины этой скорости.
3°. Она пропорциональна нормальной реакции: F = fN\ коэффициент / является коэффициентом трения в начале движения.
Согласно опытам Гирна эти законы применимы главным образом в случае непосредственного трения (т. е. когда трущиеся поверхности сухие). Они должны быть изменены, если поверхности разделены смазывающим веществом; в этом случае отношение F/N зависит от скорости и от N. (См. Comptes Rendus1 т. XCIX1 стр. 953.)
196. Трение качения в начале и во время движения. Выше (п. 188) мы определили в общем виде пары, представляющие сопротивление качению и верчению. Возьмем простой случай цилиндра. Если цилиндр может катиться и скользить по плоскости, то при вычислениях можно следующим образом учесть деформацию тела и колебания молекул. Пренебрежем протяженностью деформации и допустим, что цилиндр касается плоскости по образующей А. Допустим, кроме того, что на цилиндр действуют силы, лежащие в плоскости поперечного сёченйя, которую мы примем за плоскость чер- ГЛАВА IX. ПОНЯТИЕ O ТРЕНИИ
263
тежа. Приведем эти силы к точке А. Тогда мы получим Одну силу AR, приложенную в точке цилиндра, совпадающей с точкой А, л одну пару G1 вектор момента которой перпендикулярен плоскости чертежа. Разложим AR (рис. 127) на две силы: одну АР, нормальную к плоскости, и другую AQ, параллельную плоскости. Сила Q вызывает скольжение цилиндра; пара G вращает его вокруг образующей, по которой происходит касание, т. е. вызывает качение цилиндра по плоскости, так как при качении эта образующая является мгновенной осью вращения.
Допустим сначала, что пара G равна нулю. Тогда может возникнуть только скольжение; для того чтобы его не было, необходимо и достаточно, чтобы
Q < Pf.
(1)
где /—коэффициент трения скольжения. Допустим, что это условие выполнено, и восстановим пару AG, вектор момента которой нормален к плоскости фигуры. Если нет никакого сопротивления
качению, то эта пара, как бы мала она ни была, заставит тело катиться. Опыт, однако, показывает, что это не будет так и что качения не будет, пока момент G пары меньше некоторого предела:
G < PS,
(2)
где Р, как и выше, обозначает нормальную составляющую силы R, а 8 — линейный коэффициент, называемый коэффициентом трения при качении. Согласно Кулону и Морену этот коэффициент 8 не зависит от силы R и радиуса кривизны поперечного сечения катящегося цилиндра, по крайней мере в некоторых пределах.
Если этот коэффициент 8 известен, то условиями равновесия цилиндра на плоскости будут уравнения (1) и (2), из которых одно выражает, что нет скольжения, а другое, что нет качения. В этом случае плоскость разовьет реакцию, состоящую из одной силы R', равной и противоположной силе Rr и пары G', равной и противоположной паре G. Пара G' возникает вследствие того, что касание имеет в действительности конечную протяженность возле точки А и при приведении сил реакций плоскости к точке А получится сила и пара. Эта пара G' есть пара трения качения.
Полученный результат можно представить еще следующим образом: для того чтобы выразить, что имеется равновесие, нужно выразить, что непосредственно приложенные к цилиндру силы (кото- 264
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
рые предполагаются лежащими в плоскости поперечного сечения) уравновешиваются нормальной силой N (равной и противоположной силе Р) и касательной силой F (равной и противоположной силе Q), приложенными в точке А, и парой с вектором момента G', параллельным образующим. Эти силы и пара удовлетворяют неравенствам
