Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Представим себе систему точек, подчиненных связям, из которых одни выражаются g равенствами в конечной форме:
/і Уи Z1, X2. у о, гг. ..., хп, уп, zn) = О,
Mx1, уL Z1, __ ..., хп, уп, zn) = О, /д (*1> Ук Z1, •¦¦> х„, у„, z„) = О,
(15)
а другие выражаются h — g соотношениями неравенств тоже в конечной форме:
/<7+1 Уь Zv х„, у„, Zn) < О,
/д + 2 (X1, yv Z1, ..., Хп, Уп> Zn) < О,
fh (Xi, Уь zV X«, Уп, z„) < 0.
(16)
Тогда задача нахождения всех положений равновесия системы под действием заданных сил распадается на несколько других задач, исследованных выше.
Мы будем говорить для краткости, что связь осуществлена, если
система находится в положении, при котором функция fg+1 (X^y1, Z1.....хп,
у„, zn) равна нулю и что указанная связь не осуществлена, если функция fg+i удовлетворяет неравенству связи (16)
fg +1 < 0.
То же самое будет для остальных связей fg+2, ..., /?.
Тогда различные положения равновесия распадаются на следующие:
1°. Могут существовать положения равновесия, при которых все связи fg+lt fg+2.....А осуществлены, а перемещения, допускаемые связями, сохраняют функции Z1,/2, ...,fg равными нулю, а функции fg+\, fg+2, ..., Jn или сохраняют равными нулю, или делают отрицательными. При этих условиях перемещения, допускаемые связями, удовлетворяют g равенствам
8/i = 0, 8/а = 0..... 8/fl = 0
и Ti—g неравенствам
В/5-н < 0, »/„+в < 0..... »Д<0.
Положения равновесия этого рода будут как раз те, которые выведены методами п. 184. ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ 249.
2°. Могут существовать положения равновесия, при которых одна из связей (16) не осуществлена, а остальные осуществлены. Например, можно искать положения равновесия, при которых
fg+1 < о
V2 = 0, fg+3 = 0..... Zft = 0. (17)
Тогда снова получится такая же задача, как в п. 184, при которой осуществлены связи (15) и (17), а допускаемые перемещения удовлетворяют' равенствам
S/1 = 0, S/2 = 0, ..., Vg = O
и неравенствам
S/ff+2<0, Vff-H3 <0..... S/ft<0.
Но из этих положений равновесия системы нужно взять только, такие^. для которых выполняется условие
fg + 1 < 0.
3°. Точно так же могут существовать положения равновесия, при кото^ рых не осуществлены два, три или вообще р связей (16), например,
fg + l< 0, fg + 2 < о..... fg + p< 0, (18),
а осуществлены остальные:
fg+p+1 = 0, fg+p+* = 0, .... /ft = 0. (19>
Возможные перемещения, допускаемые связями, удовлетворяют равен-!, ствам (15) и неравенствам
sZ0-Hp-M <0, S/ff+p+2<0, ..., S/„<0. (20)
Эти положения равновесия находятся методом п. 184 без условий (18), Однако из найденных таким образом положений равновесия нужно coxpa-i нить только те, для которых выполняются неравенства (18).
4°. Могут, наконец, существовать положения равновесия, при которых ни одна из связей /ff+1, fg+2, ¦•., Д не осуществлена. Они найдутся, еслц определять положения равновесия системы, подчиненной только связям (15). Но из полученных положений равновесия следует сохранить, дищь те, для которых выполняются неравенства
fg + 1< 0, Zff-H2C 0, ..., /ft <0.
Пример. В примере предыдущего пункта мы определили положения равновесия точки, предполагая, что нить натянута и что эта точка лежит на поверхности цилиндра, т. е. предполагая, что осуществлены обе связи
x2 + y* +Z2-P = 0, (х — а)2 + (z — Cf-R2 = O.
В более общей постановке можно искать положения равновесия, при которых
X2-jT у2Z2 — P^ 0,
(х-а)2 + (г — с)2 — R2>0.
Тогда сначала нужно взять в обоих соотношениях зэзки равенства, чтс} даст уже найденные положения равновесия. 250
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Затем нужно будет искать положения равновесия, при которых
X2 + у2 + г2 — /2 < О,
(л: — я)2 + (г — с)2 — Л2 = О,
т. е. при которых нить не натянута, но точка находится на цилиндре. Тогда в качестве возможных положений равновесия получатся все точки образующей В, расположенные между найденными выше положениями E и E'. Точно так же нужно будет искать положения, для которых
X2 + у2 + г2 — /2 = О,
— я)2 + (z — cf — R} ^ О,
т. е. нить натянута, но точка находится вне цилиндра. Очевидно, получится вертикальное положение равновесия нити.
Наконец, остается найти положения, для которых
X2 + у2 + г2 — P < О,
(х — а? + (г — с? — №> О,
т. е. нить не натянута и точка лежит вне цилиндра. Таких положений равновесия не существует.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверить, что если две точки М(х, у, г) и M' (х', у', г') системы связаны нерастяжимой и невесомой нитью, проходящей через некоторую кривую С, то сумма работ реакций связей (натяжений нити в точках Al и M') равна нулю для перемещения, допускаемого связью.
Ответ. Обозначая через А (а, Ь, с) точку, в которой нить опирается на кривую, и через T натяжение, одинаковое вдоль всей нити, получим, после приведений, для суммы работ натяжений, приложенных в точках M и M', значение
равное нулю, так как не имеющий массы элемент ds нити, расположенный в точке А, находится в равновесии под действием двух натяжений на его концах и нормальной реакции кривой, вследствие чего эта реакция является ¦биссектрисой угла МАМ'.
