Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
S (Х1 + + z7) <0,
8 [(*-в)»+ (г-с)'] >6, или, производя дифференцирование и меняя знаки во втором неравенстве
хЪх + уЪу + гЪг<,0, \ — (х — а) Ьх — (г — с)8г<0. /'
Так как единственной заданной силой является вес, то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы при условии осуществления соотношений (8) выполнялось неравенство
mghz 0 (10)
для всех перемещений (9).
Для упрощения вычислений мы применим метод, который, очевидно, может быть распространен на общий случай. Примем в качестве независимых переменных левые части соотношений (9), положив
xbx+yby + zbz = bl, \
— (х-а)Ьх— (г — с)Ьг = 8(1, ;
где 8Х и 8(1 — две произвольные бесконечно малые величины. Разрешая эти уравнения относительно Bjc и 8г, имеем
Ьх= (c-z)b\—zf^-(c—z)yby
СХ~аг ' \ (12) ьг = (а - x) SX — дгSfI — (а - x) у Sy |
az — сх )
Для того чтобы получить наиболее общее перемещение, допускаемое связями, можно принять, что Sy, SX и S(i произвольны при условиях
BX < 0, Sfi < 0, (13)
являющихся условиями (9), написанными в новых переменных. Для равновесия, согласно соотношению (10), необходимо, чтобы величина mghz, или, что то же, величина Ьг, была отрицательна или равна нулю для всех этих перемещений.
Возьмем сначала неосвобождающае перемещения SX=O, 8(i = 0. Для того чтобы было равновесие, необходимо, чтобы для всех этих перемещений величина mgbz или Ьг равнялась нулю. Но если SX = O, S(i = 0, то для Ьг из равенства (12) получаем
— (а — х) у Ьу
и чтобы эта величина была равна нулю при любом Sy, необходимо и достаточно, чтобы
(а— лт)у = 0. глава viii. принцип возможных скоростей 247
Это необходимое условие равновесия распадается на два: у =О и а — х = 0. Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.
Первый случай, у = 0. Полагая в уравнениях связи (8) у = 0, получим два соотношения
д -2 4-Zl = 1\
(дг — а?+ {г — C)1 = R\
определяющих два положения равновесия в точках А и А' пересечения окружности основания цилиндра с окружностью, лежащей в плоскости хz и описанной из точки О как из центра радиусом, равным /. Обозначим через X, у, г координаты одного из этих положений. Чтобы узнать, пригодно ли оно, дадим точке т в этом положении какое-нибудь освобождающее перемещение, т. е. такое, для которого
5Х < 0, 5(1 < 0.
Необходимо, чтобы при таком перемещении работа mgbz заданной силы была или отрицательна, или равна нулю. Но при у = 0 из выражения (12у для Ьг получим
(а — х)ЬХ — X Su.
Ьг =-,
аг — сх
и это выражение должно быть или отрицательным, или равным нулю, когда 5Х и 5(i или отрицательны, или равны нулю.
Для положения А величины аг — сх и а-— х отрицательны, а х положительна; следовательно, Ьг имеет отрицательные значения при всех освобождающих перемещениях, и положение А пригодно.
Для положения А' величины .а — Jf1 х и аг — сх положительны; Ьг не будет отрицательным при всех отрицательных или равных нулю значениях 5Х и 5(1. Например, при 5Х = 0 и 5(i < 0 величина Ьг получается положительной. Положение А' не пригодно. Это видно сразу, так как если точку т положить на поверхности цилиндра в А', то она упадет.
Второй случай. Положим теперь х = а. Тогда из второго из уравнений (8) связей имеем
г — с = ± R.
Это показывает, что искомые положения лежат либо на наивысшей образующей z = c — R, либо на наинизшей образующей г = с -f- R цилиндра. Согласно первому соотношению (8) они лежат на пересечении этих образующих со сферою радиуса /, описанной из точки О как из центра. Эта сфера пересекает верхнюю образующую В (г = с — R) в двух симметричных относительно плоскости ZX точках E и E' и не пересекает нижней образующей (г = с + R). Проверим, будет ли одно из этих положений E и Er пригодно. Координаты этих положений будут
X= а, у ^0, Z = C-R. (14)
Для того чтобы положение было пригодно, нужно, чтобы для всех освобождающих перемещений получалось
mg Ъг <Г 0.
Но значение (12) для 5г при условиях (14) для координат рассматриваемых положений будет
X ?(i _5(1
Ьг ¦
аг — сх к
При всех освобождающих перемещениях ujx 0 значение Ьг отрицательно или равно нулю; следовательно, оба положения E и ?' пригодны. 248
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Можно к этой задаче применить, в качестве упражнения, метод множителей Лагранжа. Тогда положения равновесия определятся соотношениями
О + X1X — X2 (х — а) = О,
О + Xty = О,
mg -)- X1.? — X2 (z — с) = О,
где X1 и X2 должны быть отрицательными или равными нулю.
Примечание. В соответствии с общим методом мы нашли положения равновесия в предположении, что связи осуществлены, т. е. что уравнения связей (8) удовлетворяются.
187. Связи, выражаемые неравенствами в конечной форме. В предыдущих параграфах мы предполагали, что связи выражаются равенствами. Но мы предполагали, что связи осуществляются таким образом, что перемещения, допускаемые связями, выражаются неравенствами. Мы показали, как можно найти все положения равновесия, при которых все связи осуществлены.
Можно поставить более общую задачу следующим образом.
