Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
где ср', ф', о/ обозначают производные от ср, ф, ш по времени t.
В каждой частной задаче произвольные постоянные должны быть определены при помощи начальных условий. Задаются положение и скорость движущейся точки в момент t = t0, нужно определить
C1, C2.....C6 так, чтобы при t = t0 величины х, у, z приняли
наперед заданные значения у0, z0, а величины х', у', z' — наперед заданные значения х'0, у'0, г'й. Чтобы такое определение было возможным, каковы бы ни были заданные начальное значения длї Л, у, z, х', у', z', необходимо, чтобы можно было разрешить, по крайней мере теоретически, шесть уравнений (2) и (3) относительно
C1, C2.....C6, т. е. чтобы эти уравнения (2) и (3), в которых
C1, C2.....Ce рассматриваются как неизвестные, не были ни несовместными, ни неопределенными. Тогда для этих шести постоянных получатся значения вида
Ck = fktf, X, у, z, х', У, г') \к=\, 2.....6), (4)
которые непосредственно определят численные значения постоянных, когда заданы начальные значения переменных х, у, z, х', у', z'.
Допускается, что заданным начальным условиям отвечает рголько одно движение. Это обстоятельство, в котором мы будем убеждаться во всех примерах, изучаемых дальше, вытекает из теоремы Коши при условии, что X, Y, Z являются регулярными функциями от X, у, Z, х', у', z', t. Но это предполагается во всех случаях, встречающихся в явлениях природы. Вследствие этого, если каким-нибудь образом удастся найти какое-нибудь возможное движение, т. е. удовлетворяющее уравнениям движения и начальным,условиям, то это движение будет тем, которое действительно совершает точка.
199. Первые интегралы. Первым интегралом уравнений движения называется соотношение вида
Ф(Л X, у, z, X', у', z', С) = О, связывающее t, X, у, г, х', у', z' и одну произвольную постоян' 268 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
ную С и имеющее место вследствие уравнений движения, каковы бы ни были начальные условия. Можно всегда представить это соотношение, разрешенным относительно С и написать его в виде
C = f(t. X, у, z, у, г'). (5)
Нетрудно непосредственно проверить, что соотношение такого вида является первым интегралом. Дифференцируя по t, получим
Кл. д/ г' I df v' I д/ I д/ d^x I df d^ I д/ d'z — п д( ^ дх ду у "Г" dz ^r дх' dP ^ ду' It2^r dz' dt*
или, заменяя вторые производные от X, у, Z их значениями, взятыми из уравнений движения, получим
Это последнее уравнение содержит только величины t, X, у, Z, х', у', z' и так как оно должно иметь место, каковы бы ни были начальные условия, т. е. каковы бы ни были значения, приписываемые этим величинам, то оно должно удовлетворяться тождественно.
Практическая полезность какого-либо первого интеграла с точки зрения интегрирования уравнений (1) заключается в том, что он позволяет понизить на одну единицу число неизвестных. В самом деле, соотношение (5) позволяет выразить одну из неизвестных X, у, Zy х', у', г' как функцию остальных неизвестных и t. Несколько первых интегралов
С' =/l(f. X, У- z, х', у', г'), ¦
С" =U(t, X, У< z, х', у. Z'), (6)
CM =fAt. X, У. z, х', у, г')
являются независимыми, когда из них нельзя исключить все величины X, у, г, х', у', z'. Если такое исключение возможно, то оно приведет к соотношению между постоянными С', С", . .., C<v), которое, очевидно, не может содержать независимую переменную t, являющуюся произвольной. Отсюда следует, что число независимых первых интегралов, которые можно найти, равно шести, так как если v больше 6, то всегда можно исключить шесть величин X, у, Z, х', y', z'.
Если известны V первых интегралов (6), то в уравнениях (1') можно уменьшить на v единиц число неизвестных. Действительно, из уравнений (6) можно выразить v этих неизвестных в функции 6-v остальных неизвестных и времени t.
Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных достоянных, образуют шесть независимых первых интегралов. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 269"
Наоборот, если известны шесть независимых первых интегралов вида (6), где целое число v равно шести, то из этих уравнений после разрешения относительно х, у, г, х', у', г' получится общий интеграл уравнений движения.
Аналогичные рассуждения применимы, как мы увидим дальше, и к движению точки по кривой или по поверхности.
По вопросам анализа, с которыми мы здесь столкнулись, мы отсылаем к нашему Cours d'Analyse a l'?cole Centrale, гл. XXII.
200. Естественные уравнения (Эйлер). Возьмем на траектории начало О дуг. Движение по этой кривой определено, если дуга OM = S является известной функцией времени. Проведем касательную MT в сторону положительных дуг (рис. 128). Условимся считать скорость положительной, если движение происходит в сторону MT, и отрицательной, если оно происходит в обратную сторону. Тогда скорость по величине и знаку будет ds
V=W
5 Г
Рис. 128.
Пусть J—ускорение движущейся точки. Как известно, его проекции на касательную и главную нормаль выражаются соответственно формулами (п. 41):
