Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
2. Проверить тот же вопрос для случая, когда обе точки MuM' связаны невесомой нитью, скользящей без трения по неподвижной поверхности S.
Нить располагается по прямолинейной части MA, затем по поверхности S вдоль геодезической линии AA' и, наконец, снова по прямолинейной части А'М'; натяжение нити вдоль всей ее длины имеет одно и то же значение Т. Эти свойства вытекают из того, что, поскольку нить не имеет массы, то приложенные к ней силы находятся в равновесии. Обозначая через (а, Ь, с) и {а', Ь', с') координаты точек А и А', имеем
MA + AA' + А'М' = const.
Если сообщить системе возможное перемещение, допускаемое связями, то дуТа AA' перейдет в A1A1 и при попытке проверить, что сумма работ натяжений в точках M и M' равна нулю, придем к геометрическому соотно-шению ^ ^^
8 (АЛ') + AA1 cos A^AA' + А'А[ cos A1A'А = 0, ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
251.
выражающему свойство геодезических линий поверхности. (Упражнение в конце предыдущей главы для случая ср = 1.)
3. Диск, ограниченный кривой С, движется в плоскости. Невесомая нить закреплена в точке Af контура С диска, обернута вокруг него и затем протянута до точки АГ системы, где она закреплена. Проверить, будет ли сумма работ реакций связи равна нулю для перемещения, допускаемого этой связью.
(Достаточно заметить, что связь входит в число связей, рассмотренных в тексте, так как точка AT вынуждена скользить без трения по одной из разверток кривой С. Можно также повторить рассуждения п. 162.)
4. Равновесие простого домкрата. Машина состоит из шестерни радиуса а, которую при помощи рукоятки длины Ь заставляют вращаться вокруг своей оси. Эта шестерня находится в зацеплении с зубчатой рейкой, так что при вращении шестерни вокруг оси рейка перемещается вдоль самой себя. Движущая сила P приложена в конце рукоятки перпендикулярно к ней, а сопротивление R противодействует перемещению рейки. (Условие равновесия: Pb — Ra = 0.)
5. Дифференциальный ворот. Эта машина состоит из двух неизменно связанных между собой цилиндров с общей осью, но разных радиусов г и г'. Веревка, несущая блок, навернута вокруг обоих цилиндров в противоположных направлениях. Движущая сила P приложена перпендикулярно к рукоятке радиуса а, а сопротивление R вызывается грузом, подвешенным к блоку. [Условие равновесия IaP = (r— г') R.]
6. Принцип минимума суммы квадратов расстояний. (Мёбиус и Гаусс, Crelle, т. 4.) Дана система точек Al,, Af2, ...,Aln, находящаяся под действием сил P1, P2.....Pn. Система находится в равновесии в положении Ot1,
т2.....тп, где силы имеют значения рх, р2, ..., рп. Отложим от точки mL
в направлении силы P1 отрезок Ot1O1, равный ptjk, от точки т2 в направлении р2 — отрезок m<?2, равный p2/k, ..., где k — отличная от нуля постоянная. Возьмем после этого произвольное положение My M2.....Aln системы и приложим к точкам Al1, Af,, ..., Aln силы Pv P2.....Pn, направленные соответственно по прямым Al1O1, Al2O3.....MnOn и равные MM1O1,
кМ^Э2.....ZiAlnOn. Под действием этих новых сил система будет по-прежнему находиться в равновесии в том же положении mlt т2.....тп, так как
в этом специальном положении силы P1, P2, ..., Pn совпадают с P1, р2.....рп.
Так как новая система сил P1, P2, ..., Pn имеет силовую функцию
U = -А (мр\ + мр»4- ... +ЛОТ).
то, как мы видим, рассматриваемое положение равновесия обращает, вообще говоря, эту функцию в максимум или минимум и во всяком случае в этом положении равновесия вариация функции U обращается в нуль.
Прилагая теорему к простейшему случаю, мы видим, что если точка т находится в равновесии под действием трех сил тОь тОо, т03, то это положение равновесия будет тем положением точки Al, для которого сумма
MO2i + MO\ + MO'i
имеет минимум, что является хорошо известным свойством центра тяжести треугольника O1O2O3.
7. Вообще рассмотрим систему точек M1 (хь ylt Z1), M2(X2, у2, Z2), ... ..., Mn (Xn, уп, zn), подчиненных заданным, не зависящим от времени связям, и находящихся под действием непосредственно приложенных сил, причем для простоты мы будем считать, что силы, действующие на точку Af1, приведены к одной силе P1 (X1, Y1, Z1), силы, действующие на точку Mo, — к 252
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
одной силе Рг(Х2, K2, Z2), ... Допустим, что эта система имеет определенное положение равновесия, для которого точки M1, M2, ...,Mn занимают определенные положения ть т2.....тп с координатами (alt Ьь c1), (а2, Ь2, с2), ...,
{ап, Ьп, сп), а соответствующие силы имеют определенные значения рь Рч, • • ¦ > Pn с соответствующими проекциями (A1, B1, C1), (A2tB2tC2), ... • ¦ ¦, (Ап, Bnt Cn).
Составим функцию U от хь уь Z1, х2, y2t Z9t ..., xnt ynt Znt частные
„ dU dU dU , „ „ ,
производные которой , gy, gj- принимают значения Ai, Bi, Ci (I = 1,
2, .... л), когда система находится в рассматриваемом положении равновесия, т. е. когда координаты X1, yt, Z1, X^y2tZ2, ..., хп, уп, Zn принимают значения а1г bv C1, O2, b2, C2, ..., ап, bn, сп. Та же система, находясь под действием сил P1, P2, ..., р'п, имеющих силовую функцию U, будет по-прежнему находиться в равновесии в том же самом положении ть т2, ,.., тп, так как в этом положении силы P1, P2, ..., Р'п совпадают с силами рь рь ..., рп. Следовательно, в общем случае, функция U имеет в этом положении равновесия максимум или минимум и во всяком случае ее вариация в этом положении равна нулю.
