Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
^hi ^xI + ^hl "4" Cjll + ¦•¦ + A^n ^Xn+Bhn ЬУп + Chn bz„ < 0. J
Мы имеем таким образом h соотношений: g равенств и h — g неравенств. Мы будем предполагать, что левые части всех неравенств либо отрицательны, либо равны нулю, чего можно всегда достичь, изменив, в случае необходимости, знаки обеих частей.
Мы ставим себе задачей найти для такого рода систем положения равновесия, при которых все связи осуществлены.
Полезно разбить перемещения, допускаемые связями, на две категории: 1) неоевобождающие перемещения и 2) освобождающие перемещения. Мы будем называть освобождающими перемещениями такие перемещения, для которых левые части соотношений (2) равны нулю, как и для соотношений (1):
AtJ+1, 1 5jrI + • • • + Сд+Л, П ^zn = 0,
Очевидно, что каждому неосвобождающему перемещению соответствует такое же перемещение, ему равное, но противоположное по направлению, так как если левые части равенств (1) и (2) равны нулю для какой-нибудь системы значений Bxs,, by4, bz4, го они будут также равны нулю, если у всех Bxs,, By4, bz4 переменить знаки на обратные.
Наоборот, мы назовем освобождающим перемещением такое перемещение, для которого хотя бы одна из левых частей соотношений (2) не равна нулю, например:
Ад+\, 1 5-*1 + • • • + Cfl+1, п Szn < 0.
В этом случае перемещение, равное и противоположное, не допускается связями, так как если переменить знаки у Bx4, By4, bz4 на обратные, то неравенство не будет выполняться.
Теорема о возможной работе для такого рода связей формулируется так:
Для того чтобы в положении, при котором все связи осуществлены, имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы для всех ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
243.
возможных перемещений, допускаемых связями, сумма работ заданных сил была равна нулю или была отрицательной, причем нулю она должна бить равна для неосвобождающих перемещений, равна нулю или отрицательной для освобождающих перемещений:
§в< О-
Необходимость условия. Для доказательства, что условие необходимо, достаточно показать, что в случае неудерживающих связей для любого перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ реакций связей либо равна нулю, либо положительна: равна нулю для неосвобождающих перемещений, равна нулю или положительна для других перемещений.
В самом деле, возьмем, например, точку, положенную на некоторую поверхность, которую она может покинуть в какую-нибудь сторону. Нормальная реакция поверхности будет, очевидно, направлена в ту сторону, в которую точка может покинуть поверхность. Следовательно, если точке сообщить перемещение, при котором она покидает поверхность (освобождающее перемещение), то работа реакции будет положительна; она будет равна нулю только в том случае, когда реакция также равна нулю. Если точке сообщить перемещение по поверхности (неосвобождающее перемещение), то работа реакции будет равна нулю.
Возьмем теперь две точки, связанные не имеющей массы нерастяжимой нитью. Если нить натянута, то реакциями связи будут натяжения T на обоих концах, стремящиеся сблизить точки. Если обе точки переместить таким образом, чтобы расстояние не изменилось (неосвобождающее перемещение), то сумма работ натяжений будет равна нулю (п. 88); но если при перемещении точки сближаются (освобождающее перемещение), то сумма работ натяжений будет, очевидно, положительной; она будет равна нулю лишь в частном случае, когда Натяжение также равно нулю.
Резюмируя сказанное для всех перемещений, допускаемых связями получаем
§L >
где §L, как и прежде, обозначает сумму работ реакций связей и знак равенства следует брать для неосвобождающих перемещений.
Установив это, допустим, что система находится в равновесии. Каждая точка, как мы это подробно разобрали в п. 165, будет находиться в равновесии под действием всех приложенных к ней сил как непосредственно заданных, так и реакций связей, и если системе сообщить какое-нибудь возможное перемещение, то получится
її d +ш l =
где |Гд — сумма работ заданных сил. Но если перемещение допускается связями, то, как мы видели, $L >0 и, следовательно,
|ГЛ<0.
Таким образом, высказанное условие является необходимым, причем знак равенства соответствует неосвобождающим перемещениям.
Достаточность условия. Для доказательства, так же как и в п. 165, покажем, что если равновесия нет, то существует по крайней мере одно перемещение, допускаемое связями, для которого сумма работ заданных сил отлична от нуля и положительна. В самом деле, если равновесия нет, то система приходит в движение и совершает перемещение, допускаемое связями. В этом действительном перемещении каждая точка перемещаете» вдоль равнодействующей всех приложенных к ней сил как непосредственно 244
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
заданных, так и реакций связей. Работа этой равнодействующей, равная сумме работ составляющих сил, будет, следовательно, положительная, и мы имеем
Шв + §L >0. (3)
Но в действительном перемещении сумма §L работ реакций связей равна нулю. Это очевидно, если действительное перемещение является неос-вобождающим перемещением, так как к нему может быть приложено все, что было сказано о работе реакций связей, в случае, когда последние выражаются равенствами. Но то же самое будет по-прежнему справедливо и в случае, когда действительное перемещение является освобождающим перемещением; это вытекает из того, что если действительное перемещение является освобождающим перемещением для какой-нибудь связи, то соответствующая реакция связи равна нулю и, следовательно, ее работа также равна нулю.
