Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
8. Двойной тяжелый конус, образованный двумя одинаковыми конусами, соединенными основаниями, положен на две пересекающиеся прямые, одинаково наклоненные к горизонту? причем так, что центр тяжести конуса находится в вертикальной плоскости, делящей пополам угол между обеими прямыми. Найти условия равновесия (система тяжелая, ВС = 0).
Геометрически необходимо и достаточно, чтобы плоскость, проходящая через центр тяжести и две точки касания конуса с прямыми, была вертикальной, или чтобы линия пересечения касательных плоскостей к конусам в точках касания была горизонтальна.
Аналитически, если т обозначает половину угла раствора конусов, а — угол наклона плоскости обеих прямых к горизонту, ? — половину угла между вертикальными плоскостями, проведенными через эти прямые, то условие равновесия будет tga = tgmtg?. (А. Ф л ё р и, Annales de Mathe-matiques, 1854.)
9. Применив положение о том, что равновесие тяжелой системы получается, если приравнять нулю вариацию высоты G центра тяжести, доказать, что свободной поверхностью находящейся в равновесии тяжелой жидкости является горизонтальная плоскость.
10. Если три точки Ui1, т2, т3 связаны таким образом, что площадь треугольника mv тг, ms постоянна, и если на точки действуют три силы P1, Pb Ря, то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы эти силы лежали в плоскости треугольника и чтобы они были перпендикулярны противоположным сторонам треугольника и им пропорциональны.
Если четыре точки связаны таким образом, что объем тетраэдра с вершинами в этих точках постоянен, и если на них действуют четыре силы, то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы эти силы были перпендикулярны противоположным граням тетраэдра и им пропорциональны (К. Нейман).
П. Однородный тяжелый стержень OA вращается в вертикальной плоскости вокруг своего закрепленного конца О. Нить, прикрепленная к концу А, перекинута через находящийся на одной вертикали с О бесконечно малый блок В и несет на своем конце противовес Q, скользящий без трения по находящейся в той же вертикальной плоскости кривой С.
Какова должна быть эта кривая, чтобы равновесие системы было безразличным? (Подъемный мост Белидора.)
[Необходимо, чтобы центр тяжести системы перемещался горизонтально. Приняв точку В за начало, найдем, что в полярных координатах уравнение ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
253.
кривой имеет вид г2— г (а + Ъ cos 6) + с = 0. Это — овал Декарта; в частном случае, когда с = 0, будет улитка Паскаля.]
12. Тот же вопрос в предположении, что кривая С проходит через В и что вместо того, чтобы быть натянутой, нить протянута по кривой (циклоида).
13. Найти положение равновесия однородного тяжелого стержня длины 2а, расположенного в вертикальной плоскости и опирающегося на неподвижную точку О, по которой он может скользить, а концом А — на вертикальную стену.
(5С = 0. Если b — расстояние от точки О до стены, то для равновесия
получается OA = у ab2; эта величина должна быть меньше а.)
14. Однородный тяжелый стержень AB длины 2а опирается на край полуокружности, диаметр которой 2R горизонтален, а конец его лежит на этой же полуокружности. Найти положение равновесия. (Наклон і стержня дается уравнением 4./? cos2 Z — a cost — 2R = 6; для возможности равновесия
л Yb а
необходимо, чтобы было ¦—^— > R > —.
15. В вертикальной плоскости даны две неподвижные кривые С и С. Две тяжелые точки с массами т и т' скользят без трения по этим кривым и связаны друг с другом невесомой и нерастяжимой нитью, проходящей через бесконечно малый блок О. Одна из этих кривых дана. Какой должна быть другая кривая, чтобы равновесие было безразличным? Если взять горизонтальную полярную ось, то необходимо и достаточно, чтобы
тОт sin 6 + т'От' sin 0' = const.
16. Рассматриваются два одинаковых однородных стержня AB и АС, связанных шарнирно в точке А и касающихся вертикальной окружности таким образом, что точка А находится на одной вертикали с центром. Найти положение равновесия. (Если 21 — длина стержня, а — угол их наклона с горизонтом, R—радиус круга, то tg2a-|-tga--j- = 0. Имеется
R
одно положение равновесия. Устойчиво ли оно?)
17. Равнобедренный тяжелый однородный треугольник, высота которого h и равные стороны имеют длину а, лежит своими тремя вершинами на поверхности сферы. Найти положение равновесия (Вриглей).
18. Равносторонний однородный тяжелый треугольник ABC находится в вертикальной плоскости. Его вершина А скользит без трения по вертикальной прямой Ох, а середина M стороны AB прикреплена к неподвижной точке О этой прямой при помощи невесомой и нерастяжимой нити.
Найти положения равновесия. Исследовать их устойчивость. Если обозначить через а угол OM с осью Ох, то задача приведется к нахождению
максимума и минимума функции sln^a +"^j'
19. Однородный тяжелый эллиптический диск лежит в вертикальной плоскости и касается горизонтальной оси, по которой он может скользить без трения. По контуру диска обернута нить, несущая на конце заданный груз. Найти положения равновесия системы. (Можно привести эту задачу к следующей: провести к эллипсу параллельные касательную и нормаль таким образом, чтобы отношение их расстояний до центра было заданным.)
