Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
относительно оси Oz.
Наоборот, если теорема площадей применима к проекции движения на плоскость хОу относительно точки О, то сила находится
в одной плоскости с осью Oz, так как уравнение х~ — у = C
после дифференцирования принимает вид
d°-y_ d?x_ _
Х dt2 У dt2 — '
откуда
хУ — уХ= 0.
Пример. Центральные силы. Допустим, что равнодействующая F сил, приложенных к точке, является центральной, т. е. ее направление все время проходит через неподвижную точку О. Если эту точку принять за начало, то момент F относительно каждой из трех координатных осей будет равен нулю и теорема площадей будет применима к проекциям движения на каждую из трех координатных плоскостей. В этом случае траектория будет лежать в плоскости, проходящей через центр сил. В самом деле, имеем три уравнения:
d у dx «
Xdt ^lt = dz dy .
y-dt~z4t=A•
dx dz „
z-dt~xlTt=B¦
Умножая их на x, у, z и складывая, найдем
Ax-\-By-\-Cz = Q,
т. е. уравнение плоскости, проходящей через точку О. Эта плоскость определяется начальной скоростью и точкой О. ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
273"
204. Геометрическая интерпретация двух предыдущих теорем. Проведем через точку О вектор OR, равный и параллельный равнодействующей
всех сил, приложенных к точке, и вектор OR личесэву движения точки (рис. 130). Точка R' имеет координаты:
равный и параллельный ко-
dx dt
dy_ dt
Y = m
Tdz_ dt '
Уравнения движения, выражающие теорему проекций количества движения на каждую из координатных осей, имеют вид
^l-X ^L = Y dt ' dt ' dt
= Z
и обозначают, что скорость V' геометрической точки R' в каждый момент времени Рис. 130. равна и параллельна силе R.
Точно так же, пусть OG — момент равнодействующей сил, приложенных к точке М, относительно точки О и пусть OG' — момент количества движения относительно той же точки. Координаты X, [л., v точки G' выражаются равенствами
X==m{y4t~z4t)'
I dx dz \
* =mV Hf-xIirY (G'>
I dy dx\
\x4t-y-dt)¦
а проекции вектора OG суть
L = yZ — zY, M = zX — xZ, N = xY—yX.
d4
(G)
И мы приходим к уравнению — = N\ точно так же получаются урав-
нения
dk dt
dt L.
выражающие, что точка G' обладает в каждый момент времени скоростью V", равной и параллельной вектору OG. В, этом заключается аналогия между обеими предыдущими теоремами.
Например, если равнодействующая сил, действующих на движущуюся точку, проходит через неподвижную точку 0, то величины X, (1, V будут постоянными и отрезок OG во время движения будет оставаться неподвижным. Мы видели, что в этом случае траектория будет плоской; она будет находиться в плоскости, перпендикулярной к OG.
205. Теорема кинетической энергии. Возьмем уравнения движения
т
d9-x
X, т
d°-y
Y, т
d2z
dt'1 • d? ' dt2 и сложим их почленно, умножив предварительно первое уравнение 274 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
на dx, второе на dy и третье на dz. Получим
dx + ^-dy + ^-dz) = Xdx + Ydy + Zdz. Замечая, что квадрат скорости равен
можно это уравнение написать следующим образом:
d ~ = Xdx + Y dy + Z dz. (1)
Произведение mv2 половины массы на квадрат скорости
2
называется кинетической энергией *). Предыдущее уравнение может быть поэтому выражено следующим образом:
Дифференциал кинетической энергии за промежуток времени dt равен. элементарной работе равнодействующей сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени. Действительно, правая часть
X dx + Ydy + Z dz
уравнения является элементарной работой силы X, Y, Z на действительном перемещении dx, dy, dz, которое совершает точка за промежуток времени dt. Работу равнодействующей X, Y, Z можно, как мы видели (п. 77), заменить суммой работ отдельных сил, приложенных к движущейся точке.
Уравнение (1) вытекает также сразу из первого из естественных уравнений движения
mW = Ff
Умножая на ds и заменяя через v, получим уравнение
dt mv2
= Ft ds,
в котором правая часть равна элементарной работе силы F на перемещении ds.
Если уравнение (1) проинтегрировать от момента t0 до момента то, обозначая через Vq скорость в момент /q, получим
OTU2 Ttiv2c. Г
—2---^ = J Xdx + Y dy + Zdz, (2)
t.
что выражает следующую теорему:
*) В оригинале вместо названия «кинетическая энергия» автор пользуется устаревшим и вышедшим теперь из употребления названием «живая сила», причем живой силой автор называет величину оті/2. (Прим. перев.) ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 275"
Изменение кинетической энергии точки за произвольный про-межуток времени равно полной работе сил, приложенных к точке, за тот же промежуток времени.
С точки зрения оценки полной работы следует, как мы показали в главе IV, различать три случая:
1°. В наиболее общем случае, когда X, Y, Z зависят от х, у, г, х', у', г', t, для вычисления полной работы надо знать выражения координат X, у, z в функции t, т. е. надо знать движение.
2°. В случае, когда X, Y, Z зависят только от х, у, z, для вычисления полной работы достаточно знать траекторию движущейся точки между положением M0, которое она занимает в момент t0, и положением М, занимаемым в момент t.
