Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
. _dv_d*s
* Tt ~dP'
V3
P
а проекция на бинормаль равна нулю. Так как вектор силы равен вектору ускорения, умноженному на массу, то обозначая через Ft, Fn, Fb проекции силы F на касательную, главную нормаль и бинормаль, получим:
F6 = O.
с, dv d'S
Ft = mW = mW
Fn = -
Эти три уравнения образуют систему, эквивалентную трем уравнениям движения. Так как Fn всегда положительно, a Fb всегда равно нулю, то сила всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории и направлена в сторону вогнутости последней.
Если сила все время нормальна к траектории, то Ft = О, скорость постоянна и сила обратно пропорциональна радиусу кривизны.
Если сила все время касательна к траектории, то Fn = т
V2
О
и так как v не равно нулю, то р равно бесконечности, т. е. траектория есть прямая линия. 270
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Можно установить отмеченные уже Маклореном интересные аналогии между этими уравнениями и уравнениями равновесия нити. Мёбиус указал большое число таких аналогий в своей Статике, так же как и Оссиан Бонне в томе IX Journal de Math6matiques и П. Ceppe в своей ТИёопе nouvelle des lignes a double courbure (Mallet-Ba-chelier, 1860). (См. упражнения.)
Мы переходим теперь к выводу теорем, позволяющих во многих случаях найти первые интегралы.
201. Количество движения. Количеством движения точки M называют вектор MQ, который направлен по линии скорости в ту же сторону, что скорость, и длина которого равна произведению ско-
dx
рости на массу: mV. Так как проекции скорости на оси равны ,
dy dz ,
Tt ' ~dt' т0 пРоекции количества движения будут
dx dy dz ,
m4t- mM' mIF- ^?)
Моменты количества движения относительно осей координат равны
»('?-'-?)•¦«(•?—?)¦ -{*%->?)• (00,)
так что момент количества движения относительно точки О есть вектор OG', проекции которого равны только что написанным величинам.
202. Теорема о проекции количества движения. Первое уравнение движения может быть написано так:
Так как ось х произвольна, то это уравнение выражает следующее: Производная по времени от проекции количества движения на какую-нибудь ось равна проекции на ту же ось равнодействующей всех сил, приложенных к движущейся точке.
В частности, если сумма проекций сил на ось все время равна нулю, то по этой теореме получается первый интеграл. В самом деле, приняв эту ось за ось Ох, имеем
d I dx\ п dx .
Tt(mTf)-0' тЧГ =А'
где значение постоянной А равно проекции на ось Ox начального количества движения. Интегрируя вторично, получим
mx = At + A',
т. е. движение проекции точки на ось Ox является равномерным.
Пример. Параллельные силы. Если сила F параллельна определенному направлению, то траектория будет лежать в плоскости, параллельной этому направлению. В самом, деле, приняв за ось Ox ГЛАВА X. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ 271"
прямую, параллельную равнодействующей силе F, имеем X=Oi K = O. Следовательно,
dx . dy п
т —— = А, т-у-- = В, at dt
Ady-Bdx = 0, Ay-Bx = C,
что является уравнением плоскости, параллельной оси Oz. Эта плоскость, в которой происходит движение, определяется начальными условиями; она является плоскостью, проведенной через начальную скорость параллельно постоянному направлению силы.
203. Теорема о моменте количества движения. Закон площадей. Из уравнений движения можно вывести теорему, аналогичную предыдущей, для момента количества движения. Два уравнения
d?x
m
dt2
¦¦X.
» d2y — V
путем преобразований приводятся к одному
dn-y dn-x .. „
которое можно написать так:
dy
IM'Z-'Z)]-"-'*-
/Q=Hl/
т. е. производная по времени от момента количества движения относительно какой-нибудь оси (оси Oz) равна моменту равнодействующей всех сил, приложенных к точке, относительно той же оси.
Из этой теоремы получается первый интеграл уравнений движения в случае, когда xY — уХ= 0, т. е. когда равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, находится все время в одной плоскости с осью Oz. Этот интеграл будет
dy dx ~
Хчг-Учг=с-
/V
мУ
% I I
I т У
V=I= vSi= \. . Vi=
Рис. 129.
Он имеет очень простую геометрическую интерпретацию, а именно:
пусть (рис. 129) P — проекция движущейся точки M на плоскость ху и P0—начальное положение этой проекции. Рассмотрим сектор, ограниченный проекцией траектории и двумя радиусами OP0 и OP. Обозначая через S площадь этого сектора, отсчитываемую в направлении положительного вращения вокруг оси Oz, имеем
j (xdy — у dx).
dS-. 272
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА точки
Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид
2 — — С г dt —
откуда, интегрируя, находим
S = \c(t — Q.
Другими словами, площадь S пропорциональна времени, в течение которого она была описана. В этом случае говорят, что для проекции движения на плоскость ху справедлива теорема площадей.
Постоянная площадей С, входящая в предыдущую формулу, равна отношению удвоенной площади, описанной радиусом-вектором OP, к затраченному на это времени. Она определяется начальными условиями, а именно: она равна значению, принимаемому в начале движения величиной X --т" е" моментУ начальной скорости
