Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(7.18) (7.18а) (7.186)
(7.19) 244 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV
состояний тоже одинаково и равно
elfl = e2fl = e3fl = +2Л + 4В, (7.20а)
так что ширина зоны трех перекрывающихся полос энергии равна eflb = ela-elb = 4Л+ 85. (7.206)
Максимумы для каждого из трех состояний расположены в центрах четырех ребер куба, перпендикулярных к граням, на которых располагаются соответствующие минимумы. Таким образом, в зоне Бриллюэна имеется всегда 6 минимумов и ^максимумов.
Разложим энергию E1 (7.18) в ряд вблизи минимума kx = n/а, ky = kz = 0, по малым величинам k'x = ^—kx, ky и kz:
E1 = 2Л cos (л—ak'x) — 25 (cos aky + cos akz) =
= —2 Acosakx—2B (cos aky + cos akz) =
= -2 Л
ї {ak'xY
— 2 B
= e lb + Aa*k'* + Ba*(kl + kl). (7.21)
Мы видим, что вблизи этого минимума изоэнергетические поверхности— эллипсоиды вращения вокруг оси х. Компоненты тензора эффективной массы
_2 Aa1_ 1
P V dk'x /rnin Й-2 «1
<у ~ &2 V dkl /min ~ A2
2 Ba2 1
(7.21а)
т2
(7.216)
Из выражений (7.21) и (7.21а)
_ - Pkl + Pkl
eI eIb- Zm1 + 2m2
Такие же разложения имеют место вблизи пяти других точек минимума энергии. Таким образом, хотя каждый эллипсоид в отдельности не обладает кубической симметрией, их совокупность удовлетворяет таковой. Аналогичные разложения энергии электрона возможны вблизи точек максимума. В плоскости kz — 0 энергии электрона равны
E1 = 2Acosakx — 2Bcosaky — 2B, (7.22)
E2 = 2Л cos aky—2В cos akx—2В, (7.22а)
E3 = —2В [cosakx + cosaky) +2А. (7.226)
На рис. IV. 17, а, б, ив представлены изоэнергетические линии, соответствующие elf еа и в8. Буквами т и M отмечены точки §7]
ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
245
минимума и максимума энергии. Для а и б центру зоны (kx = = ky = Q) соответствует седлообразная точка поверхности энергии
jZA //б
VN V/ /ҐГ
В)
M
є (Zfejc, ky). На рис. IV.18 представлена
E1 (kx, ky) ВДОЛЬ осей kx И ky.
Il случай: А > 0 и В< 0. Обозначая В через опять е0—C = O, получим вместо равенств (7.18)
8j = 2A cos akx + 2В (cos aky + cos akz),
(7.23)
e2 = 2A cos aky -f 2B (cos akx + cos akz),
(7.23a)
e3 = 2A cos akz + 2B (cos akx + cos aky).
(7.236)
Отсюда видно, что минимуму энергии, равному (7.20), соответ-ствуют во всех трех состояниях точ- * ки ±kx = ± ky = ±kz = я/а, т. е. вершины куба зоны Бриллюэна. Максимум вый
зависимость энергии В и полагая
Рис. IV. 18.
энергии, одинаково всех трех состояниях, достигается в центре зоны при kx = ky = kz = 0. Таким образом, общая ширина энергетической такая же, как и в предыдущем случае (7.206). Разлагая
зоны
энергии электрона (7.23а), (7.236) в ряд по Jfex, k общего максимума, получим
B1 = (2А + 4В) — Aa2k% — Ba2 {k% + kl), C2 == (2Л AB) — Aa2k2y — Ba2 [k\ + k% e3 = (2A + AB) — Aa2k\—Ba2 (k2x +k2y).
V'
kz вблизи
(7.24) (7.24a) (7.246)
Таким образом, изоэнергетические поверхности—одинаковые эллипсоиды с осями вращения, направленными вдоль х, у и г 246
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
(рис. IV.19). Если зона почти заполнена электронами, то спектр (7.24), (7.24а), (7.246), взятый с обратным знаком, соответствует дыркам. Полагая ky = kz = 0, видим, что
B1 = Btt-AaWx, (7.25)
B2 = B3 = B M-Ba*kl. (7.25а)
На рис. IV.20 представлена зависимость энергий Bi, еа, е3 от kx в предположении, что А < В и, следовательно, кривая 2 соответствует дважды вырожденному
состоянию (b2 = b3).
В направлении ky, т. е. при kx = kz = 0, b1 и в2 подобны (7.25а),
Рис. IV. 19.
/ г Zt
Рис. IV. 20.
а в2 подобно (7.25). Состояние в центре бриллюэновской зоны (A = O) является шестикратно вырожденным (с учетом спина).
Если не учитывать спин-орбитального взаимодействия, то такой энергетический спектр наблюдался бы для дырок валентной зоны германия. Учет спин-орбитального взаимодействия приводит к частичному снятию вырождения; отщепившееся двукратно вырожденное состояние смещается в сторону более низких значений энергий, а четырехкратно вырожденное—дает две ветви — легких и тяжелых дырок.
§ 8. Структура энергетических зон и симметрия волновых функций в простой кубической решетке и в кристалле сурмянистого индия
1. Пространственная группа простой кубической решетки — симморфна, поэтому неприводимые представления группы волнового вектора Gk для нее могут быть классифицированы по неприводимым представлениям T(R)—точечной группы, соответствующей волновому вектору к (гл. II, § 9, п. 4).
Так как результаты исследования спектра колебаний в простой кубической решетке в гл. III, § 8, основаны только на соображениях симметрии, то они могут быть без изменения перенесены на свойства электронного спектра в кубическом кристалле. Раз- $8]
СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
247
ница заключается только в том, что в случае колебаний мы должны центру бриллюэновской зоны Г приписать неприводимое представление Г15 (III.8.17), в то время как в случае электронного спектра выбор состояния электрона в точке Г в широких пределах произволен. Но если мы предположим, что состояние электрона в центре бриллюэновской зоны тоже определяется неприводимым представлением Г15, то все выводы, полученные для колебательного спектра в гл. III, § 8, остаются в силе и для электронного, надо только заменить понятие «ветвь колебаний» на «зону энергий».
