Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для плоской квадратной решетки со стороною а обратная решетка тоже квадратная со стороною 2л/а. На рис. IV.3 изображено 10 первых бриллюэновских зон для плоской квадратной решетки.
Для трехмерной простой кубической решетки обратная решетка—тоже простая кубическая. Первая зона Бриллюэна, имеющая форму куба, получается от пересечения шести плоскостей, проходящих через середины отрезков, соединяющих начало координат с шестью ближайшими узлами обратной кубической решетки. В огранении второй зоны участвуют двенадцать плоскостей, перпендикулярных к отрезкам, соединяющим начало 226
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
координат с двенадцатью следующими узлами обратной решетки. На рис. IV.4 представлены первые четыре бриллюэновские зоны простой кубической решетки.
В гл. II, § 9, п. 1 мы отметили, что все бриллюэновские зоны имеют одинаковый объем, равный (2л)3/?20, где Q0—объем
/ ^ J 4 5 В 7 8 3 10
toIDIDIIlOH
Рис. IV. 3.
элементарной ячейки кристалла. С другой стороны, из (III. 5.27) следует, что число состояний в основной области V на единицу объема пространства волнового вектора равно V/(2n)3. Таким образом, число квантовых состояний электрона (без учета спина)
, V (2л)3
во всех бриллюэновских зонах одинаково и равно (2я)3 Q ~
=-?-=G3 = N — числу элементарных ячеек в основной области
"о
кристалла.
В качестве используемого в дальнейшем примера рассмотрим зоны Бриллюэна для гранецентрированной и объемноцентрированной кубической решеток.
Можно показать (Приложение 13), что для гранецентрированной кубической решетки обратная решетка — объемноцентри- sei
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
227
рованный куб и, наоборот, для прямой кубической объемно-центрированной решетки обратная — гранецентрированный куб. Определим форму 1-й зоны Бриллюэна для решетки гранецент-
Рис. IV. 4.
рированного куба. Обратная решетка в этом случае объемно-центрированный куб, и, следовательно, каждый узел ее окружен восемью ближайшими узлами (гл. I, § 2, п. 2). Восемь плоскостей, проведенных перпендикулярно через середины отрез-
а) б)
Рис. IV. 5.
ков, соединяющих начало координат с восемью ближайшими узлами, при их взаимном пересечении определяют правильный восьмигранник (октаэдр) с шестью вершинами и правильными треугольниками в виде граней. Узлами следующей координационной группы являются шесть узлов, расположенных попарно 228
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
на расстояниях а (ребро куба) по осям х, у иг. Они определяют шесть плоскостей, отсекающих от октаэдра его шесть вершин. В результате для 1-й зоны Бриллюэна мы получим четырнадцатигранник с шестью квадратными и восемью шестиугольными гранями, изображенный на рис. IV. 5, а. Вторая зона Бриллюэна в этом случае имеет весьма сложную геометрическую форму, изображенную на рис. IV. 5, б. Нетрудно написать в этом случае уравнения (5.10) для граней 1-й зоны Бриллюэна. Полагая, например, bg = blt получим из выражений (5.10) и (П. 13.3)
•5- (/„¦-J0+ку+* Щ- (/„¦-J0+л.)=о
или
— kx-\-ky — kz = 3 Jt/а.
Это уравнение определяет одну из восьми шестиугольных гра-
4я
ней. Если положить bg = b1-\-b2 =— /„, как это следует из
Рис. IV. 6.
(П. 13.3), то получим из условия (5.10)
kx = — 2 л/а,
что определяет одну из шести квадратных граней.
Аналогично может быть определена форма зон Бриллюэна для прямой решетки объемноцентрированного куба. Так как в этом случае обратная решетка имеет структуру гранецентри-рованного куба, то первая координационная группа состоит из 12 узлов (гл. I, § 2, п. 2). Двенадцать плоскостей, проведенных в соответствии с уравнением (5.10), полностью определяют в этом случае 1-ю зону Бриллюэна в форме двенадцатиграннику (додекаэдра), изображенного на рис. IV.6,a. Вторая зона Бриллюэна в этом случае имеет вид, изображенный на рис. IV. 6, б.
2. Плоскости в А-пространстве, определяемые уравнением (5.10), дают границу зоны (разрыва энергии є* электрона) sei
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
229
только при условии так как только в этом случае,
согласно уравнениям (5.6) и (5.9а), коэффициент at, и поправка к энергии е' становятся большими. Если решетка сложная, то условие интерференции электронных волн, рассеиваемых атомами отдельных подрешеток, может привести к исчезновению некоторых Vg. В этом случае энергия є* для соответствующей грани зоны Бриллюэна не терпит разрыва, т. е. соответствующая грань фактически не является границей энергетической зоны. Как мы сейчас увидим, ситуация здесь полностью совпадает с той, с которой мы встретились при определении структурного фактора рассеяния рентгеновских лучей (гл. I, §4, п. 5).
Рассмотрим сложную решетку с основными периодами а1( а2 и а3, и пусть положение s атомов ячейки относительно ее начала определяется s векторами г п = una1-\-vna2J\-wnas (п = 1, 2, ..., s), так что базис решетки равен (ип, v„, wn). Если все S атомов одинаковы, то потенциальная энергия электрона аддитивно складывается из энергий взаимодействия с каждой из S подрешеток:
V(r) = 2fi(r-r„), (6.1)
