Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1J Другие примеры вычисления структурных факторов и зон Бриллюэна для сложных решеток имеются в книгах: Mott N. F., Jones Н. The TheoryoF Properties of Metals and Alloys.—Oxford, 1936 и Wilson A. H. The Theory of Metals.— Gambridge, 1953.' 232
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
2. Пусть волновая функция электрона i|)0 (г) в изолированном атоме в s-состоянии удовлетворяет уравнению Шредингера
+ о = М>„, (7-1)
где 41 (г)—сферически симметричное поле изолированного иона (металл) или нейтрального атома (полупроводник, когда электрон проводимости «лишний» в кристалле), е0 — энергия рассматриваемого состояния электрона в ионе (атоме). Пусть
$4>M>,dt=l, (7.1а)
т. е. волновая функция т|)в нормирована на единицу.
Вблизи я-го узла решетки электрон в изолированном атоме описывается волновой функцией т|)0 (I г—fltrtl)- В идеальной решетке все N = G3 узлов основной области полностью эквивалентны, поэтому состояние электрона с энергией е0 является Лґ-кратно (без учета спина) вырожденным. Под влиянием взаимодействия электрона со всеми атомами уровень энергии е0 расщепится в полосу (зону) и вырождение, во всяком случае частично, будет снято.
Как известно из теории возмущений вырожденных состояний1) и, как представляется наглядным из общих соображений, волновая функция нулевого приближения должна быть сконструирована из всех вырожденных волновых функций в виде линейного выражения
$(г) = 2С,Ч>в(|г-а„|). (7-2)
Tt
Постоянные коэффициенты С п определяются по известному правилу2). Мы воспользуемся для определения коэффициентов Cn простым приемом, потребовав, чтобы (7.2) удовлетворяло общим требованиям, предъявляемым к виду блоховской волновой функции (3.1). Легко видеть, что для этого достаточно положить Cn =ехр(ifca„), т. е.
Ф {г) =Jeika" ЪЛ\г-ап\). (7.2а)
п
В самом деле, запишем выражение (7.2а) в виде
$ (г) = е<*2е<л """'ЧАг-а»!). (7.26)
п
Докажем, что множитель, стоящий при eikr, обладает периодичностью решетки, т. е. может рассматриваться как модулирующий множитель Uk (г) в блоховской волновой функции (3.1).
J) Блохинцев Д. И., § 68. а) См. там же. §7] ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 233
Подставим в этот множитель вместо г вектор r + am; получим
0(|r + am-a„|).
п
Перейдем от суммирования по л к суммированию по I, положив ап—Um = Ui, тогда получим
(|r—a, I),
і
что, очевидно, совпадает с исходным выражением (7.26). Тем самым мы во всяком случае показали, что выбор волновой функции электрона в виде (7.2а) удовлетворяет условиям трансляционной симметрии. Кроме того, очевидно, что ввиду экспоненциально быстрого спадания атомной волновой функции ор0 волновая функция электрона в кристалле (7.2а) вблизи п-го узла ведет себя приближенно, как
ар (г) г» const ap0 (I г—ап I),
т. е. как атомная функция п-го узла.
Если V (г)—самосогласованный периодический потенциал, действующий на электрон, причем, конечно, V (г) (г—ап),
п
то точная одноэлектронная волновая функция удовлетворяет уравнению
^ = -?v4+V(r)ap=e op, (7.3)
где е—собственное значение энергии электрона, движущегося в кристалле. Умножая обе части равенства (7.3) слева на ар* и интегрируя по основной области кристалла, получим
У' + Г<г)]»* {7А)
J ij)*!)) dx ^ il>*i|! dx
Вычислим энергию электрона е в предположении, что волновая функция ар (г) задается выражением (7.2а). Обозначая г—ап=Рп, получим
^=[ - ш V2+kH ? eikan ^ fr-)=
L п
= е0 X^n OP0 (()„) + E eikHV (Г) -cIL (Pn)J Op0 (р„),
л п
где было использовано уравнение (7.1) для замены —^V2aPo(Pn)-Подставляя полученное выражение в (7.4) и заменяя гр* согласно 234
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
(7.2а), получим
SS
E = En
ап) J to* (Pm) IV (г)-U (р„)] to (Pn) dx
SS
Uk, ап-ат)
^ to* (Pm) to (Pn) dx
Ввиду эквивалентности всех узлов числитель и знаменатель не зависят от т и п в отдельности, а только от их разности, т.е. от относительного положения узлов. Поэтому можно положить т = 0 (т. е. ат = 0, Pm = г) и суммирование по т как в числителе, так и в знаменателе заменить умножением на число узлов основной области N. Таким образом,
S J (г) [V [г)-11 (рп)] to (Pn) dx * = -йыгт-Т—-• (7-5)
2 eikan J to (Г) to (Pn) dx
\
Будем считать, что атомные волновые функции г|з0 спадают так быстро, что можно пренебречь их перекрытием даже для соседних узлов, т. е.
0Ы^ = 60П = { J- (7.6)
Обозначим интеграл, стоящий в числителе дроби (7.5), для л = О
S Го (г) [V (г) - 4L (г)] ^0 (г) dx = 5 I ^0 (г) I2 [У (г)-41 (г)] dx==—С<0.
(7.7)
Отрицательное значение интеграла (7.7) может быть до некоторой степени обосновано следующим образом. На рис. IV.7 сплошной линией представлен потенциал г изолированного атома 4L, а пунктирной— самосогласованный периодический потенциал V. Если сделать довольно естественное предположение, что взаимодействие между атомами снижает потенциальные барьеры для электрона, как это показано на рисунке, то квадратная скобка в интеграле (7.7) повсюду отрицательна и, следовательно, сам интеграл отрицателен.
