Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ансельм А.И. -> "Введение в теорию полупроводников" -> 78

Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников — Москва, 1978. — 618 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriupoluprovodnikov1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 217 >> Следующая


Переходя к переменной е = р2/2т*, получим для плотности состояний ^= 2g (е) формулу (3.27).

7. Вычислим квантовомеханическую среднюю скорость <©> = = — <р> электрона в состоянии с волновым вектором k в периодическом поле. Как мы увидим ниже, она в общем случае отлична от нуля. Таким образом, даже в том случае, когда полная энергия электрона меньше максимума его потенциальной энергии в кристалле, электрон может свободно перемещаться по всему объему кристалла. Электрону в состоянии k соответствует средняя скорость v(k) и, следовательно, незатухающий ток j=ev, где е — величина заряда электрона. Конечное электрическое сопротивление кристалла обусловливается не потенциальными барьерами периодического поля, которые электрон проходит «туннельным» способом, а отступлениями поля кристалла от строгой периодичности либо за счет тепловых колебаний, либо из-за статических дефектов решетки.

По общей формуле для средних значений в квантовой механике1)

<®> = ^ </>> = -1A JibV^ dt, (3.28)

V

где — V = — grad — оператор импульса; интегрирование ведется по основной области кристалла.

1)Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики.— M.: Наука, 1976, § 19. §3] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 215

Для свободного электрона волновая функция, нормированная на основную область, равна

(3.29)

т. е. имеет вид плоской волны с постоянной амплитудой. Здесь волновой вектор ft =p/fi, где р—импульс электрона (не квазиимпульс!). Подставляя (3.29) в (3.28), учитывая, что = ikeikr, получим (опуская скобки у <г>>)

9 = M = = (3.30)

т. е. то же соотношение, что и в классической механике.

Если отождествить (что a priori не очевидно) среднюю кван-товомеханическую скорость электрона в кристалле v с групповой скоростью волнового пакета, составленного из блоховских функций г»гр, то1)

J 3(0 1 dhbi 1 де ,о

®гр = §гас1йсо = ж = 1-ж- = 1ж (3.31)

и, следовательно,

V = JU = -Tgradft є (ft). (3.32)

В случае свободного электрона энергия

•ю-Зг-ё (з-зз)

и формула (3.32) дает (3.30).

В точках экстремума энергии (де/дк) = 0 и, следовательно,

V = O.

Строгий вывод формулы (3.32) дан в Приложении 12. 8. Рассмотрим электрон в периодическом поле, когда на него дополнительно действует внешняя сила F. Если сила F достаточно мала, так что Fa<^.<§g, где а — постоянная решетки, a Sg — ширина соответствующей запрещенной зоны, то сила F не будет вызывать переходов электрона между разными энергетическими зонами, а будет только изменять волновой вектор электрона ft. Так как классические уравнения движения остаются справедливыми для средних квантовомеханических значений величин, то естественно предположить, что закон сохранения энергии имеет вид

d^- = VF, (3.34)

где V—скорость, определяемая равенством (3.32), а є (ft)—энергия электрона в зоне, в которой он движется. Равенство (3.34)

1J Блохинцев Д. И., § 7. 216 [ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ (ГЛ. JV

утверждает, что работа силы F, приложенной к электрону, в 1 сек равна скорости изменения его энергии &(k). Так как

de (ft) V1 de dka , dk

<x

то, используя равенство (3.32), получим из уравнения (3.34)

1 = (3"35)

Отсюда, в частности, видно, что в периодическом поле квазиимпульс электрона p=sflk играет в уравнении движения (3.35) роль импульса свободного электрона.

Ускорение электрона, понимаемое как скорость изменения его средней квантовомеханической скорости v, равно

dv d ( 1 , /и\\ \ d ( д& (ft)

1Г = !Ї{Т ^rad* 6 W) = 11F [-W1

Так как зависит от времени только через k, то

dVa 1 d { де \ 1 V" / дч \ dk6 I / де \ <*P?



dt % dt \dka) dkadk? J dt dka J dt

(3.36)

Совокупность величин

1

p\dkadk&

= mai (3.37)

назовем обобщенным тензором обратной эффективной массы. Он отличается от тензора тa?1 (3.19) тем, что зависит от k. Если энергия электрона равна (3.18), т. е. берется в квадратичном приближении, то ma?1 ==map. Из уравнений (3.35) и (3.36) в главных осях тензора ma? следует:

du„

-Jr^tria1Fa, (3.38)

что в случае mjp1 = /?1 = const представляет классические уравнения движения с «анизотропной» массой.

Наконец, в приближении скалярной эффективной массы (3.22) уравнение (3.38) имеет вид

m*w-=F> <3-39)

совпадающий с обычным уравнением классической механики. $4]

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ДЫРКИ ВАЛЕНТНОЙ ЗОНЫ

217

§ 4. Понятие о положительных дырках почти заполненной валентной зоны

1. По аналогии с классическим выражением для тока, создаваемого зарядом —е, движущимся со скоростью V, напишем квантовомеханическое выражения для тока, создаваемого электроном в А-состоянии:

л = - (k) = - 4 J dx=- A J Kvfft-W;) dr.

(4.1)

Последний интеграл может быть получен, если учесть, что формально jb + Jk = Ijk Uk — вещественная величина). Мы видим, что правая часть выражения (4.1) действительно представляет собой обычное квантовомеханическое выражение для плотности тока, усредненное по основной области кристалла (строго говоря, для усреднения интеграл в (4.1) надо было бы разделить на У). Такое усреднение устраняет циркулярные токи внутри отдельных кристаллических ячеек, токи, которые связаны с наличием периодического множителя Uk (г) в волновой функции Блоха, не имеющие отношения к поступательному движению электрона1). Мы знаем, что в кристалле любой симметрии (П.9.26)
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed