Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для гранецентрированной кубической решетки 1-я зона Бриллюэна имеет форму усеченного октаэдра, изображенного на рис. IV.5,a. Из уравнения (7.10в) следует, что минимальная энергия при ft = 0 равна Sb = —12Л, а максимальная энергия Sa = 4А для kx = 2n/a, ky = kz = 0 и пяти других эквивалентных
J) Мы #пять полагаем є0—G = O. §7] ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
241
точек, так что ширина зоны опять еа6 = 16Л. В центрах каждой из восьми шестиугольных граней [±kx=±kv = ±kz = я/а) энергия е = 0. Ha рис. IV.15 представлены для этого случая изоэнерге-
большему значению энергии є. На рис. IV. 16 даны изоэнергетические линии, полученные при сечении бриллюэновской зоны плоскостью кг = 0.
Конечно, и в случае гранецентрированной решетки можно рассмотреть разложение энергии е вблизи краев энергетической
а)
б)
Рис. IV. 15.
зоны, эффективные массы и т. д. Результаты, которые при этом получаются, не отличаются качественно от тех, которые имеют место для простой и объемноцентрированной кубических решеток.
5. Рассмотрим в приближении сильной связи поведение электрона в простой кубической решетке в том случае, когда он в изолированном атоме (ионе) находится в р-состоянии. 242
[ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
(ГЛ. JV
Волновая функция электрона в произвольном сферически симметричном поле 4L (г) имеет вид!)
u, Ф) = Я„г (г) Ylm (», ф),
где Rnl(r)— радиальная часть волновой функции, зависящая от главного квантового числа п и орбитального квантового числа I^ti—1, a Ylm (Ь, ф)—шаровая функция, описывающая угловую зависимость волновой функции, зависящая от I и магнитного квантового числа т = 0, ±1, ±2, ...,±1. Энергия электрона
зависит только от квантовых чисел п и I (в кулоновском поле — только от п); поэтому ^-состоянию электрона с I = I соответствуют три вырожденные волновые функции с т = 0, +1, —1:
Ч>„1. = Д„1 (0(?-)1/2 COS
^ш = Яп1(0(ж)І/2зіп^<>\ (7.16)
4>„i. -1 = ^1(0 ("ЙГ) 1/2 sin »e-'ф.
Рис. IV. 16. В силу линейности и однородности
уравнения Шредингера всякая линейная комбинация волновых функций (7.16) тоже является волновой функцией ^-состояния электрона. В дальнейшем удобно использовать в качестве волновых функций три следующие линейные комбинации (7.16):
I +. - il=(') (жУ''" sin 0 cos ф=xf {r >s ^(г)-
2 L тли
7 Nw
2 і
=г ^bio=Rm (г) а
-^1, -l] = ^Bl (О
1/2
/2
1/2
sin 0 sin ф = yf (г) = ? (г), (7.16а) cos-& = z/(r) = i|^(r).
Здесь X = г эш^соэф, у = г sin Osin ф и z = r cos — прямоугольные координаты электрона, a f (г)— некоторая радиально-сим-метричная функция, зависящая от вида потенциала 4L (г).
Волновая функция электрона в кристалле может быть записана аналогично (7.2а). Однако мы должны теперь учесть не только трансляционное вырождение электрона, учитываемое в (7.2а) множителем exp і (Iian) и суммированием по всем эквивалентным узлам решетки п, но и вырождение (7.16). Таким образом, положим волновую функцию электрона в кристалле
Ч> (Г) = 2 Єіка» {осф, (г - On) + рфв (г - On) + Y^ (Г - ап)}, (7.17)
') Б л о X и н це в Д. И., § 49. §7]
ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 243
где коэффициенты а, ? и 7 должны быть определены из общей теории возмущения вырожденных состояний.
Можно показать (Приложение 15), что в простом кубическом кристалле состояния и я|)г не комбинируют друг с дру-
гом, т. е. только один из коэффициентов а, ? и у может быть отличен от нуля. Таким образом, при заданном значении волнового вектора к электрону в кристалле соответствуют три волновые функции, для каждой из которых имеет место своя зависимость энергии є от к.
Энергетические зоны, соответствующие этим трем волновым функциям, в точности перекрываются, так что в простом кубическом кристалле вырождение уз-уровня не снимается.
Расчет показывает (Приложение 15), что для a =H= О, ? = Y = 0 энергия электрона
E1 = E0—С + 2А cos akx—2В (cos aky+ Cosak1,).
Для ? =^= 0, a = Y = 0 энергия электрона
E2 = E0—С + 2 A cos aky — 2В (cos akx + cos ak2) и для Y=H=O, a = ? = 0 энергия электрона
e3 = e0—С + 2A cos ak2 — 2В (cos akx + cos aky). Здесь e0 — энергия /j-электрона в изолированном атоме, C = -\vl(r)[V(r)-%(r)]dx
и
J ^ (Г)^ (r-a„0)[V(r)-4l (I г—а„0|)]^т = | (7.19а)
где интеграл равен А, когда соседний атом п0 взят по оси х, и равен —В, когда соседний атом п0 взят по оси у или г. В силу кубической симметрии интегралы (7.19) и (7.19а) не меняются от замены ярд. на Opy или і|зг.
Потенциальные энергии V (г) и 4L (г) имеют тот же смысл, что и в выражениях (7.7) и (7.8). Знаки постоянных А и В не могут быть установлены вполне однозначно. Мы рассмотрим два случая: І. Л>0и5>0и II. Л > 0 и ? < 0. В дальнейшем мы опять будем энергию электрона во всех трех состояниях отсчитывать от уровня e0-C, т. е. положим e0-C = O.
I случай: .4>0, #>0. Для всех трех состояний электрона (7.18), (7.18а), (7.186) минимум энергии равен
eib = e2b = езь — —2Л —4В. (7.20а)
В каждом из трех состояний два эквивалентных минимума расположены в центрах двух противоположных квадратных граней зоны Бриллюэна. Максимальное значение энергии для всех трех
